發布時間：2022-11-27 10:50:00
序言：寫作是分享個人見解和探索未知領域的橋梁，我們為您精選了8篇的反比例函數的應用樣本，期待這些樣本能夠為您提供豐富的參考和啟發，請盡情閱讀。
在八年級上冊已經學過了一次函數的有關知識，學生對函數的概念也有過認識. 但由于函數的概念與數學上常見的一些概念和定義有比較大的區別，函數的概念還是不太容易被學生接受. 函數所體現的是量與量之間的關系，是一個比較抽象的概念. 因此在理解上會有些困難. 如果學生沒有很好地理解函數的概念，那么函數的學習將會受到很大的阻礙. 在這個單元中，函數的概念的學習是一個重點. 函數的概念部分應該怎么樣去教學才能讓學生更容易理解呢？創設一定的情境是讓學生理解和體會這個概念的有效方法. 如：
情境1：
（1）當路程一定時，速度與時間成什么關系？（s = vt）
（2）當一個長方形面積一定時，長與寬成什么關系？
[說明]這個情境是學生熟悉的例子，當中的關系式學生都列得出來，鼓勵學生積極思考、討論、合作、交流，最終讓學生討論出：當兩個量的積是一個定值時，這兩個量成反比例關系，如xy = m（m為一個定值），則x與y成反比例.
這一情境為后面學習反比例函數概念作鋪墊.
情境2：
汽車從南京出發開往上海（全程約300 km），全程所用時間t（h）隨速度v（km/h）的變化而變化.
問題：（1）你能用含有v的代數式表示t嗎？（2）利用（1）的關系式完成下表：
（3）速度v是時間t的函數嗎？為什么？
[說明]（1）引導學生觀察、討論路程、速度、時間這三個量之間的關系，得出關系式s = vt，指導學生用這個關系式的變式來完成問題（1）.
（2）引導學生觀察、討論，并運用（1）中的關系式填表，并觀察變化的趨勢，引導學生用語言描述.
（3）結合函數的概念，特別強調唯一性，引導討論問題（3）.
情境3：
用函數關系式表示下列問題中兩個變量之間的關系：
（1）一個面積為6400 m2的長方形的長a（m）隨寬b（m）的變化而變化；
（2）某銀行為資助某社會福利廠，提供了20萬元的無息貸款，該廠的平均年還款額y（萬元）隨還款年限x（年）的變化而變化；
（3）游泳池的容積為5000 m3，向池內注水，注滿水所需時間t（h）隨注水速度v（m3/h）的變化而變化；
（4）實數m與n的積為-200，m隨n的變化而變化.
通過以上幾個情境的創設，對反比例函數的概念，學生們肯定也有了較深刻的理解. 掌握了反比例函數的概念之后，接下來學習的是用待定系數法求反比例函數的解析式，對于這部分內容，我認為求解析式偏重于方法，只要學生把方法掌握了，求解析式就變成了解方程的問題，在理解上并沒有什么難處，求解析式這一塊還算是反比例函數這章中相對容易掌握的一部分了.
二、反比例函數的圖像及圖像的性質
反比例函數的圖像及圖像的性質這一塊的內容可以聯系一次函數并將兩種函數進行比較學習. 從復習一次函數的圖像開始，通過回憶和比較有助于學生理解反比例函數的性質. 反比例函數的性質的理解和掌握可以通過探索的方式來讓學生進行學習. 這階段我主要是設計了如下的探索活動.
經過一系列的探索活動，學生對反比例函數的圖像也能夠理解和掌握. 反比例函數的圖像性質如單調性這些內容在掌握了函數的圖像之后就變得不難了，學會觀察圖像、并能把函數與圖像聯系起來，就能夠很快理解函數的單調性. 在反比例函數的應用中，就是要學會綜合運用反比例函數的解析式，函數的圖像以及性質解決實際問題. 這一部分是對綜合運用能力的考查，歸根到底還是要對函數的圖像以及性質有深刻的理解和掌握，才能從圖形中挖掘出潛在的信息，或者是把文字描述轉換到圖像的表達上，對函數圖像有深刻的理解才能很好地把知識運用到解決實際問題當中. 在學習反比例函數的過程中，一定要注意加強反比例函數與正比例函數的對比，把函數中蘊涵的重要數學思想作為本章的主要線索，加強學生對這種函數思想的理解和領悟.
【參考文獻】
[1]雷曉宏.例說反比例函數的性質及應用[J].課程教育研究，2012（15）.
【關鍵詞】 題組教學；例題；提高解題能力
“數學題組訓練”是初中數學復習階段中的知識綜合應用階段.所謂題組，就是在復習教學環節中把學習過的題目進行分類整理，精心設計具有系列化、程序化、有利于學生自學的題組，利用題組為學生創造最佳的學習情境，建立良好的認知結構，全面歸納解題方法，提高解題能力.本文結合選取反比例函數復習教學的典例對題組訓練進行闡述.
一、運用題組教學，巧求反比例函數的k值
反比例函數是歷年中考數學的一個重要考點章節，且多以大題的形式出現，常常結合三角形、四邊形等相關知識綜合考查.所以，應該引起廣大學生的重視.反比例函數中k的幾何意義也是其中很重要的知識，常在中考選擇題、計算大題中進行考查.這類考題大多考點簡單但方法靈活，目的在于考查學生的數學圖形思維.本次專題目的在于讓學生掌握反比例函數k幾何意義這一知識要點，靈活利用這一知識點解決數學問題，并熟悉與反比例函數k幾何意義的常見考查方式和解題思路.
例1 點A（-1，1）是反比例函數y=m+1[]x的圖像上一點，則m的值為（ ）.
A.-1 B.-2 C.0 D.1
考點 反比例函數圖像上點的坐標特征.
分析 把點A（-1，1）代入函數解析式，即可求得m=-2的值.
故選B.
點評 本題考查了反比例函數圖像上點的坐標特征，經過函數的某點一定在函數的圖像上.
例2 如圖，O是坐標原點，菱形OABC的頂點A的坐標為（-3，4），頂點C在x軸的負半軸上，函數y=k[]x（x
A.-12B.-27C.-32D.-36
考點 菱形的性質；反比例函數圖像上點的坐標特征.
分析 根據點C的坐標以及菱形的性質求出點B的坐標（-8，4），然后利用待定系數法求出k=-32即可.
故選C.
點評 本題考查了菱形的性質以及利用待定系數法求反比例函數解析式，解答本題的關鍵是根據菱形的性質求出點B的坐標.
二、運用題組教學，巧求反比例函數與一次函數的綜合題
反比例函數是中考命題的主要考點，近幾年中考試卷中出現了不少將反比例函數與其他函數、幾何圖形、方程（組）等綜合編擬的解答題.其中，將反比例函數與其他函數綜合命題是中考命題的新動向.
例1 如圖，已知反比例函數y=m[]x的圖像與一次函數y=ax+b的圖像相交于點A（1，4）和點B（n，-2）.
（1）求反比例函數和一次函數的解析式；
（2）當一次函數的值小于反比例函數的值時，直接寫出x的取值范圍.
考點 反比例函數與一次函數的交點問題.
分析 （1）把A的坐標代入反比例函數的解析式，求出m=4，從而確定反比例函數的解析式，把B的坐標代入反比例函數解析式求出B的坐標（-2，-2），把A，B的坐標代入一次函數的解析式，即可求出a=2，b=2，從而確定一次函數的解析式y=2x+2；
（2）根據函數的圖像即可得出一次函數的值小于反比例函數的值的x的取值范圍：x
點評 本題考查了一次函數與反比例函數的交點問題，用待定系數法求一次函數和反比例函數的解析式及利用圖像比較函數值的大小.解題的關鍵是：確定交點的坐標.
例2 如圖，直線y=mx+n與雙曲線y=k[]x相交于A（-1，2），B（2，b）兩點，與y軸相交于點C.
（1）求m，n的值；
（2）若點D與點C關于x軸對稱，求ABD的面積.
考點 反比例函數與一次函數的交點問題.
分析 （1）由題意，將A坐標代入一次函數與反比例函數解析式，即可求出m=-1與n=1；
（2）得出點C（0，1）和點D（0，-1）的坐標，根據三角形面積公式計算ABD的面積=1[]2×2×1+1[]2×2×2=3即可.
關鍵詞： 課外知識； 數學課堂； 歸納教學
中圖分類號： G424.21 文獻標識碼： A 文章編號：1009-8631（2010）07-0173-01
去年筆者有幸參加凱里“中小學校心里健康教育師資培訓”研討會，會上與會者對教育一詞的解釋是“教”――上所施，下所效，而“育”者養也，學生在學校學習是學而實習之，不亦說乎，天地相交產生萬物是有規律可循的。作為教師來說，我們只有將方法教給我們的學生。然而，許多老師在課堂上，只是將課本知識進行解說和分析、歸納（事實上，課本中已將要點進行了歸納），而不重視課外知識。如果我們在教學中增加一些課外知識，那么，學生在學習或考試中，就會學、考輕松許多倍，特別是在考試中既節省時間又提高其準確率。
現就八年級第十七章反比例函數的“反比例函數上的點到兩軸間的距離與兩坐標軸所圍成的圖形”為例，探討歸納教學。
1.歸納
例1，如圖1，反比例函數y=（x＞0）的圖像上任意一點A作x軸的垂線，垂點是C，連接OA，則AOC的面積是_______。
這道題是一道填空題，按常規，應該進行如下解題過程，設點A的坐標為（a,b）反例函數關系式知：ab=12，再由圖像可知，AC＝b，OC＝a，所以，SAOC＝OC?AC=ab=×12=6。如果我們這樣指引學生：B點是反比例函數y=y=（x＞0）的圖像上一點，那么SBOD=_______。
由上面的A點可知：SBOD=OD?BD=xy=×12=6。由此可知，反比例函數圖像上任意一點到坐標點的距離和到x軸（y軸）的距離與x軸（y軸）所圍成的三角形面積是一定值，即三角形面積等于反比例函數的比例系數的絕對值的一半，進而可歸納為：
反比例函數圖像上任意一點到坐標原點的距離和到x軸（或y軸）的距離與x軸（或y軸）所圍成的三角形面積等于這個反比例函數的比例系數的絕對值的一半。
例2、如圖2，點A是反比例函數的圖像上任意一點，過點A，分別作x軸、y軸的垂線，垂足是B、C，則矩形ABOC的面積為_____。
我們可利用例1的歸納，連接OA，從而有S矩形ABOC=SAOB+SAOC=×3+×3=3。故有：反比例函數任意一點到兩坐標軸的距離與兩坐標軸所圍成的矩形的面積等于反比例函數的比例系數的絕對值。
2. 應用
例3、如圖3，點A（x1，y1），B（x2，y2）在反比例函數y=位于第一象限的分支上，AA1x于A1，BB1x于B1，記AOA1的面積為S1，BOB1的面積為S2，則S1______S2。（填“”或“=”）
由例1歸納，知S1=SAOA1=×2，S2=SBOB1=×2，故則S1=S2，從而應填“=”。
例4，如圖4，正方形ABOC的邊長為2，反比例函數y=過點A，則k的值是多少？
分析：因為正方形ABOC也是矩形，其面積等于22=4，由例2的歸納結果，可得k=S正方形ABOC=4。
因此，k=±4，再由于反比例函數圖像在第二象限內，故k的值為-4。
1.情境鏈簡潔些
梳理反比例函數應用的基本知識與技能，合理合情地創設學生熟悉的、源于生活的簡潔情境，再將各個情境按照學生的認知結構編排成一條情境鏈。旨在通過情境鏈的輔佐達成課堂教學的“簡中求道”――知識掌握簡單些，技能訓練簡易些，數學思考自然些，問題解決順暢些，課堂學習愉悅些……
2.知識掌握簡單些
知識是學習的重要基礎，因此應圍繞核心知識進行設計，讓陳述性知識的表述簡潔些；讓程序性知識的脈絡清晰些；讓知識間的聯系自然些；讓知識的再現容易些；讓知識的保持長久些。
3.技能訓練簡易些
技能是學習的一個目標，因此應圍繞基本技能進行教學設計，讓知識學習的同時提高技能，由于本節課是反比例函數的應用，因此盡可能訓練學生的“建模與用模”技能，同時由于八年級學生的抽象思維能力還很弱，因此盡可能訓練學生的“由數思形，由形想數”的技能。
4.數學思考自然些
“數學思考”越來越引起專家和教師的重視，這是數學課程改革的必然結果。然而，由于八年級學生自身具有的“數學載體”“數學經驗”有限，學生的數學思考可能會磕磕絆絆。但是教師可以設計出一些方案，讓學生在磕磕絆絆地“數學思考”中學會數學反思，教師留一些時間，讓學生反思，爭取做到在習得知識的同時，通過反思覺得：數學味很濃，從數學角度看也“合情合理”，同時既有數學的邏輯成分，又有數學的直覺成分，從心底里覺得其比較自然，逐步步入到數學思考的軌道上。
5.問題解決順暢些
問題解決是數學學習的主體，情境設置時，各個情境之間要有緊密聯系，形成一組或幾組問題串，解決前一個問題后，立即生成下一個問題，這就是我課上最常用的“源問題―解決問題―生成新問題―解決問題”問題循環教學模式，能確保問題間聯系緊密，問題解決就順暢些。
6.課堂學習愉悅些
關注學生的情感、態度、價值觀是教育的理性回歸，教學時設置學生身邊的、熟悉的、源于生活的情境，這樣學生在學習的過程中就會樂意參與，主動探索，在參與和探索中體驗失敗的艱辛、成功的喜悅。
【教學目標】
1.知識與技能：
（1）能將實際問題轉化為數學中反比例函數的模型；
（2）能用反比例函數的圖象與性質，分析和解決一些簡單的實際問題。
2.過程與方法：
（1）在情境鏈的輔佐下，經歷“實際問題―反比例函數模型―解決問題”的過程，提高建模和用模能力；
（2）在情境鏈的輔佐下，體悟反比例函數中的“數與形”“等與不等”等基本數學哲學雛形。
3.情感、態度、價值觀：
（1）在解決身邊的、有聯系的實際問題的過程中，進一步體會反比例函數是刻畫現實世界中數量關系的一種數學模型，感受生活中處處有數學，激發用數學的熱情；
（2）體會情境的相互聯系和轉化，體悟到將復雜問題轉化成簡單熟悉問題是解決問題的基本方法和路徑；
（3）隨著問題解決的深入，發現數學可以解決身邊的很多問題，逐步認識數學的價值，提高學習數學的興趣。
【教學過程及設計意圖】
一、情境引入
今天早上，我早早來到美麗的清江中學，站在校門口，發現同學們來學校的方式不盡相同，如步行、騎自行車和乘公交車，出于好奇也為了上好本節課，我打聽來一些情況，下面請大家幫我解決一些問題。
【用比較隨意的生活問題情境引入，可以營造一個寬松的氛圍，有利于學生的思維自由放飛，快速進入數學思維空間，為逐步體悟“生活處處皆數學”打下伏筆。】
二、解決問題
問題一 上學路上
小省、小清和小中是你們的同學，三位同學距學校分別為2公里、4公里和6公里，他們分別步行、騎自行車和乘公交車來學校，如果他們同時到校，探索速度與時間的關系。
子問題1（小省步行）
（1）如果小省步行的速度是每分鐘100米，小省上學路上要花多長時間？
（2）如果小省步行的速度是每分鐘v米，小省上學路上要花多長時間？
【1.第（1）問實際上是小學中給定具體數據的“行程計算”問題，第（2）問實際上是一類數據中的行程問題，也可看成是一個公式，其本質是用字母表示數。
2.該問題的教學活動可以是：采用“師生問答”形式，但要注意充分利用情境。設想一下，如果本課采用提問形式復習行程問題公式：“v=”或“t=”，學生會感到枯燥無味。兩問是反比例函數的基本問題，條件與結論簡單明了，利于學生快速融入課堂；而該設計配上小省上學路上的動畫，熟悉、生動的情境，學生倍感親近、真切，學習興趣就上來了。
3.總結歸納提升時，結合反比例函數的表達式，并畫出反比例函數的圖象，從“數”與“形”兩個視角認識具體實際問題中的反比例函數，并從這兩個視角歸納出（1）和（2）兩問實際上是特殊與一般的關系。】
子問題2（小清騎自行車）
（3）小清騎自行車與小省同時來學校，求小清騎車的速度；
（4）如果小清某天上學的速度為每分鐘v1米，放學回家的速度為每分鐘v2米，小清上學和放學回家花費的時間之比是多少？
【1.第（3）問要利用第（1）問的結論，抓住“同時到校”這一條件；第（4）問實際上是兩個反比例函數問題，列出關系式：v1t1=6000，v2t2=6000，進而得出=。
2.該問題的教學活動可以是：師生共同分析、解答和板書，規范學生的書面表達。有些學生探索第（3）問時，會有少條件的感覺，此時教師要做的是，留足時空，讓學生認真審題，必要時可以合作交流，希望出現不同的呈現。第（4）問中，由于距離一定，有些學生會有這樣的直覺：時間之比等于對應速度之比的倒數。這是很好的狀態！實際上，確定問題解決的方向，體現在解決問題的各個環節，直覺能定下解題方向，而解題方向的確定是解答的第一步，這在教學中非常重要，所以，教學時可以先讓學生進行不動筆的獨立思考，做整體解題方向的謀劃，經常在這一方向上嘗試，學生容易找到解答思路。
3.總結歸納提升時，結合反比例函數及其圖象，比較子問題1中的特殊與一般的關系，學生體悟到當特殊有序數對（點）動起來，一系列的特殊有序數對（點）就是一般情況的反比例函數（圖象），這有助于整體理解反比例函數，也為高中學習函數和解析幾何打下基礎。】
子問題3（小中乘公交車，帶出環境污染）
（5）小中等待公交車約3分鐘，如果公交車速度為每分鐘300米，小中來學校大約要多長時間？
（6）一次遇上霧霾天氣，公交車的平均速度不超過每分鐘100米，小中要在7：30之前到校，并要留足等車的時間至少為5分鐘，問小中最遲在什么時刻就要到達候車點？
【1.第（1）問仍是問題1第（1）問的變式，第（2）問是前兩小問題的綜合，要求略高一些。
2.該問題的教學活動可以是：學生口頭表述，教師適當板書，在理解問題1和2的基礎上，總結解決兩個問題的方法，自主探索解決“反比例函數應用”問題的通法，并力求通法的書面表達簡潔、完整和規范。本題設計一些較接近真實的實際情境，有一些干擾的情境，因此應分清主次，抓住重點――反比例函數的應用，其他的只是一些簡單的調整或補充。
3.總結歸納提升時，要結合前面4個問題，明確（5）（6）兩個問題主要內容仍是反比例函數，只是適當改變次要的情境，從而說明“從問題的主要部分入手”是解決問題的常規方法。并提出環境問題已成為全社會關注的熱點問題，從而帶出問題二。】
問題二 環境整治
子問題1（環境治理）
污水處理廠計劃新建一個長方體污水處理池。處理池的底面積S（m2）與其深度h（m）之間的函數關系如圖。
（1）求處理池的體積，請寫出S與h之間的函數關系式；
（2）由于綠化以及輔助用地的需要，經過實地測量，處理池的長和寬最多只能分別設計為40m和30m，那么處理池的深度至少達到多少時才能滿足要求（保留兩位小數）？
【1.第（1）問，以反比例函數的圖象作為已知條件，待定解析式；第（2）問，給出長方體兩個量的范圍，求第三個量的范圍。
2.該問題的教學活動可以是：讓學生到講臺上結合圖象，邊演示邊與其他學生交流，教師適當點評。第（1）問，是面對圖象情境，培養學生讀圖、識圖和用圖能力；第（2）問，讓學生建立等與不等之間的聯系，逐步認識到等與不等是相對的，即它們既有聯系，又有區別，逐步滲透辯證的數學哲學思想，并體驗如何將復雜的問題轉化成熟悉的問題的思維路徑，這里比較陌生的“不等問題”就有兩種轉化的路徑：借助函數的圖象直觀和運用熟悉函數的等式形式。
3.總結歸納提升時，從“數”與“形”兩個方面分別歸納總結與提升，重點和學生一起體悟“面積S隨高度h的增大而減少”的真實情境，同時順便指出應有“防重于治”的理念，帶出環保問題。】
子問題2（環境保護）
學校準備綠化校園，利用圍墻的一個直角，（∠ABC=90°）圍成一個面積為600m2的綠化帶，由于場地限制，要求墻面AB的長不長于60m，且不短于35m。
（1）求墻面BC的長度范圍；
（2）探索斜邊AC的長是否可能為50米，說明理由。
【1.第（1）問利用反比例函數圖象，結合圖象直觀求出BC的長度范圍，也可以利用反比例函數的性質，確定墻面BC的長度范圍；第（2）問利用反比例函數的兩個變量之間的關系，設AB=x（x>0），則BC=，由勾股定理可得x=40或x=30，結合條件，可得AB=40m，BC=30m。
2.該問題比較開放，教學活動可以是：學生先自主探索，再合作交流。第（1）問條件中墻面AB的范圍反映到圖象上，其圖象只是反比例函數圖象的一部分，教學時從代數式和圖象兩個角度，領會范圍的含義；由于第（2）問是探索型的問題，教學時，要騰出時空，讓學生自己充分思考、探究和交流。
3.總結歸納提升時，結合上面的問題，歸納出反比例函數模型的特征：兩個量的積為定值；結合問題二中的子問題1，重點體悟反比例函數中的等與不等的關系，進一步體悟“萬事皆有聯系”，從而產生環境綜合防治的念頭，進而帶出問題三“調研報告”。】
問題三 調研報告
小省、小清和小中根據上述一些環境問題，作了大量的調查研究，完成了紙質的調查報告，字數為2400個。老師看了調查報告，覺得很好，就準備錄入電腦，轉郵淮安環保局。
（1）若老師邊錄邊校對打字速度為每分鐘60個字，則錄完調查報告需多少時間？
（2）若老師先錄再校，每分鐘錄入字數為120個，每分鐘校對字數為80個，請問老師采用哪種方式完成較省時？
【1.第（1）問利用反比例函數；第（2）問兩次應用反比例函數，再比較兩種方法所需時間，進而比較兩種方法的優劣。
2.該問題的教學活動可以是：課堂練習，用于學生獨立探索和小結，同時獲悉教學反饋信息。作為課堂結束，盡可能讓學生回歸到簡單的、本質的數學問題中，因此問題不宜繁難，同時課堂上獨立練習，有助于學生積極思考，從而形成個性化的思考，教師同時根據教學反饋布置作業和后續教學。
一、“反比例函數的圖像和性質”的教學設計
復習引入:
問:反比例函數的解析式和定義域?
師:這節課,我們研究在直角坐標平面中反比例函數的圖像和性質。
出示課題:18.3.2反比例函數的圖像和性質(1)
(一)三個操作,確定觀察實例
(2)描點
(3)連線
師:按照自變量從小到大,即按點從左到右,用光滑的曲線連接,并向兩方伸展。所畫圖像向兩方延伸,會不會與坐標軸相交?
小結:根據解析式,如果x所取值的絕對值越來越大,那么y的對應值的絕對值越來越小;而x所取值的絕對值越來越小(不為零),則y的對應值的絕對值越來越大。由此可知,圖像向右或向左延伸,與x軸越來越靠近;圖像向上或向下延伸,與y軸越來越靠近,但都不會與坐標軸相交。
操作2(師生同步畫圖)
類比操作1,畫反比例函數 的圖像。
(2)描點
(3)連線
師:對學生畫圖中出現的問題進行投影講評,引導學生小結畫反比例函數圖像應注意的事項。
3.操作3(學生獨立畫圖)
畫反比例函數和 的圖像。
(老師示范 自變量x的取值、描點)
(二)三次類比,分析本質屬性
師:我們前面研究正比例函數是通過圖像得到性質,這里我們同樣通過函數圖像來歸納反比例函數的性質。
問:正比例函數的圖像是什么?那么反比例函數的圖像是什么?(投影表格)
完成正反比例函數圖像部分的填寫
1.類比思考
問:正比例函數有哪些性質?
師:觀察、比較上面四個函數的圖像,類比正比例函數性質的研究,請各小組從“圖像的位置分布、函數的增減性”幾個方面討論反比例函數有哪些性質。
討論參考問題:
(1)函數的圖像分別位于哪幾個象限內?
(2)隨著圖像上的點的橫坐標x逐漸增大,縱坐標y是怎樣變化的?
(3)圖像的每支都向兩方無限延伸,它們可能與x軸、y軸相交嗎?為什么?
2.類比歸納
反比例函數(k是常數,k)的性質:
(邊歸納邊完成表格)
分組討論,修正性質
師:以函數為例,若在第一象限的分支上取兩點,如a(1,6),b(3,2),可知自變量x的值逐漸增大,y的值隨著逐漸減小;若在第三象限的分支上取兩點,如c(-1,-6),d(-3,-2),可知自變量x的值逐漸增大,y的值隨著逐漸減小。但如果,分別在第一、三象限各取一點,如a(1,6),d(-3,-2),是否符合這一增減性規律?
生:應該加上“在每個象限內”或“在對于每個分支而言”或“當x>0或x<0”時,等等。
3.類比小結
對照表格,談談正反比例函數圖像和性質的異同點。
(三)三層練習,進行鞏固運用
(1)比例系數k分別是多少?
(2)圖像分別在哪些象限?
(3)圖像在每個象限內,y的值隨x的值的變化而怎樣變化?
課堂小結
談談你學習的收獲和體會
(學生沒有提到的部分,老師通過引導直接講解,幫助學生進行小結)
師:同學們回答的很好,這節課我們不僅學習了畫反比例函數的圖像,還研究了它的性質,更重要的是我們感受了學習知識的方法。上節課我們學習了反比例函數的概念,這節課我們學習了如何畫反比例函數的圖像,歸納得出了反比例函數的性質,下節課我們將運用這些性質來解決一些問題。
二、對數學概念課教學設計的幾點思考
“反比例函數圖像和性質”的內容教學,學生在前面已經學習了正比例函數的解析式、圖像和性質,反比例函數的解析式。本節課的教學重難點有兩個:一是會用描點法畫反比例函數的圖像;二是結合圖像分析歸納反比例函數的基本性質,并掌握這些性質。
反比例函數的圖像和性質較正比例函數而言,較難操作畫圖,比較抽象,不易理解。這堂課力求在學生已有知識結構的基礎上,讓學生在動手操作、性質比較、自主探究的過程中不斷地發現新知識,從而促進學生對有關反比例函數圖像和性質的知識構建。
(一)注重兩種數學概念學習形式的有機結合
數學概念學習主要有兩種形式:一是數學概念形成,二是數學概念同化。數學概念形成需要的是對物體或事件的直接經驗,從這些物體或事件中抽象出它們的共同屬性。而在數學概念同化的過程中,重點在于學生把新知識與頭腦中已有的有關知識聯系起來。但兩者不是互相排斥的,在數學教學中可以把這兩種數學概念學習形式有機的結合起來,常常能收到較好的效果。
本例中設計了三個操作、三次類比、三層練習,讓學生經歷了“觀察操作實例——分析本質屬性——修正本質屬性——練習簡單運用”等幾個階段,這里運用的是數學概念形成的學習形式。本例從具體的操作實例出發,對反比例函數從k>0和k<0的兩種情況分類研究操作畫圖,歸納得出了反比例函數圖像性質的“本質屬性”,再通過具體實例函數 在第一象限的分支上的兩點a(1,6),b(3,2)和第三象限的分支上的兩點c(-1,-6),d(-3,-2),對性質進行檢驗與修正,最終概括得到反比例函數的性質。然而,在分析本質屬性中,本課將正反比例函數的圖像和性質進行三次類比,運用了數學概念同化的學習形式。使新概念與原有認知結構中有關觀念建立聯系,把新概念納入到相應的概念體系中,同化新概念。
通過數學概念形成和數學概念同化兩種學習形式的結合運用,學生對“反比例函數的圖像和性質”既有感性認識又有理性認識,從具體到抽象,符合人的認識規律,提高了教學效率,使學生能夠在較短的時間內正確理解數學概念所反映的事物的本質屬性。
(二)注重數學思想方法的滲透
對數學而言,知識的發生過程,實際上也就是思想方法的發生過程。因此,概念的形成過程、結論的推導過程、方法的思考過程、問題的發現過程、規律的被揭示過程等都是向學生滲透數學思想方法的極好機會。
本例的一個重難點是“理解和掌握反比例函數的圖像和性質”。在性質歸納中設計了“類比思考”、“類比歸納”、“類比小結”三個環節,對正反比例函數進行充分的類比,讓學生更好的體會利用函數圖像來研究函數性質的研究方法,降低學習難度,對反比例函數的圖像和性質的掌握會更好。
另外,本課將反比例函數分成“k>0”和“k<0”兩種情況進行研究,滲透了分類討論的數學思想。在反比例函數增減性的講解中,借助圖像和具體的點和坐標,再從具體到抽象,充分運用數形結合的數學思想方法,幫助學生更好的理解性質中的難點。
數學的概念、性質和定理等知識都明顯地寫在教材中,是有“形”的,而基本的數學思想方法卻隱含在知識的教學過程中,是無“形”的,并且不成體系散見于教材各章節中。在概念課的教學過程中,我們老師應注意把握好數學思想的滲透時機,尋找適合學生的認知發展水平的滲透方法。
(三)注重數學概念的過程教學
數學知識的發生、發展、形成和應用的過程,是課程目標內容,也是課程學習內容。在數學概念課教學中,要抓住數學概念的本質屬性及其內部聯系,結合學生的能力狀況及知識水平,采用多種方式,組織學生參與概念的分析、概括、形成過程,變“成果教學”為“過程教學”。
例如在“反比例函數增減性”的教學中,不是直接給出“在每一象限內”這一前提,而是先由學生類比得出“k>0時,y的值隨x的增大而減小;k<0時,y的值隨x的增大而增大”這一不正確的結論。再給出具體的函數上的兩點a(1,6),d(-3,-2),討論是否符合這一增減性規律。最后,對得到的結論進行修正。
學生在這一討論后,提出了不同的修正方案,有“對于每一個分支而言”、“對于每個象限”而言、“當x>0時”等。這一開放性的教學策略,為學生提供更多的機會和時間,讓學生提問和質疑、嘗試和探究、討論和交流、歸納和總結,使課堂成為學生能動地、創造性的生成過程,避免了把數學概念絕對化,讓學生形成“正確的答案可能不止一個”的認識。
總之,數學概念的教學,既是數學教學的重要環節,又是數學學習的核心,其根本任務是準確地揭示概念的內涵與外延,使學生思考問題、推理證明有所依據,能夠創見性地解決問題。概念教學的效果如何,將直接影響學生對數學知識的理解、掌握和應用。因此,在概念教學中,教師要根據課程標準對概念教學的具體要求,創造性地使用教材,努力優化概念教學設計,把握概念教學過程,真正讓學生在參與的過程中產生內心的體驗和創造。
整理
參考文獻:
[1]瑜文琪.要重視概念和知識的發展過程的教學.中學數學教學參考,2000.
[2]奚定華等.數學教學設計.華東師范大學出版社,2001.
本節課內容是《反比例函數》起始課，屬于一節概念新授課，教材為蘇教版《數學》八年級下冊第11章反比例函數第一課時。本課教材從已有的小學知識“兩個量的乘積一定，那么這兩個量成反比例”出發，設問：成反比例的兩個量之間的關系，怎么用函數表達式來描述？于是引出操作題：南京與上海相距約300km，一輛汽車從南京出發，以速度v（km/h）開往上海，全程所用時間t（h）。寫出t、v的關系式，并填寫下表：
隨著速度的變化，全程所用時間發生怎樣的變化？時間t是速度v的函數嗎？
教材給出了一組對應關系，從對應關系的表達式找共同特征得出反比例函數的定義。
我在設計時考慮，既不能脫離教材，又要結合實際，因此對操作題進行改編作為課題情境導入。本節課是學生在學習了一次函數以及特例正比例函數后，又一次進入函數領域對函數再認識的過程，學生的學習既區別于一次函數，又建立在一次函數的學習基礎之上，因此起始課對函數概念的回顧就很有必要，在教學方法上可以采取回憶得出一次函數的過程的方法。但是用什么樣的方式讓學生能回憶起函數的抽象概念并能總結出反比例函數的概念，是筆者在教學設計時遇到的最大困難。很顯然教師直接給出定義并不合適，這樣不能讓學生真正體會反比例函數的意義。我認為，本節課的重點是進行抽象反比例函數的概念的教學，進而理解反比例函數的概念，難點同樣是理解反比例函數的概念。
【初稿設計】
介于上述考慮，筆者首先給出教學設計初稿。
情境導入1：接到參賽通知，馮老師開車從蘇州到南京，據了解走滬寧高速平均速度為100km/h，行駛的路程s（km）隨時間t（h）的變化而變化。
問題1：此題中常量是什么？變量是什么？
問題2：變量s與時間t的關系式是什么？s是t的函數。（s=100t）
問題3：回憶什么是函數？
情境導入2：在出發前，馮老師去加油站把油加滿，已知汽車的油箱為50升，路程中平均每千米耗油量為0.1升，油箱中剩余的油量y（升）隨行駛里程x（公里）的變化而變化，y與x的函數關系式是什么？
情境導入3：從蘇州到南京，汽車的里程表上顯示一共行駛約200km，全程所用時間t（h）隨平均速度v（km/h）的變化而變化，t與v的函數關系式是什么？
結合教材實例列出4個函數關系式。
思考：上述函數表達式中哪些是已學的函數，分別是什么函數？一般式是什么？
討論：剩下的幾個函數有什么共同特征？（此處安排學生討論，教師總結學生討論結果）
至此，得出課題反比例函數。在得出課題后與學生一起總結反比例函數的一般式以及完整定義。（中間略）在一些概念習題后講解了待定系數法，并做相應練習，最后總結。
針對初稿設計，我試上了一節課，通過學生表現發現這樣的設計存在很大的問題。
（1）由于沒有任何鋪墊，在給出“情境導入1”中的一個正比例函數s=100t就讓學生回答什么是函數，學生基本一無所知，一來因為函數知識的學習已經過了一個學期，間隔較長。二來函數概念本來就過于抽象，與學生學情不符，此處耗時較長。
（2）討論問題問學生剩下幾個函數有什么共同特征？問題太大，沒有針對性，學生不知道從哪個方面來回答，給出的答案與教師預設相去較遠，遠離了本課教學目標。教師解釋也很困難。
（3）習題部分過多討論了待定系數法，題目偏難，學生做起來很困難。導致最后重點偏離，難點沒有突破。
【改進后的設計】
經過了并不成功的試上課后，聽取了聽課教師的意見，我又仔細閱讀了教材，中間聽了一節本校小學部六年級的《認識反比例關系》的隨堂課，深受啟發。小學教師更注重對學生提問的引導，將問題分得很細，很有針對性，一節課解決的問題不多，但是基本上學生在上完一節課后能對本課的重點有一個深刻的印象。同時也發現了中小學教材在銜接上存在一些不同步，導致學生進入初中在學習函數關系的時候已經對比例關系有所淡忘。因此我在重新設計的時候有了新的想法，將小學的比例關系融合到本課的概念的抽象部分，試圖通過正反比例關系來認識正反比例函數，在改進后的備課中也更好地使用了教材上的表格操作題，對教學設計作了如下的修改。
情境導入：接到參賽通知，馮老師開車從蘇州到南京，車的里程表上顯示一共行駛約200km，全程所用時間t（h）隨平均速度v（km/h）的變化而變化。
問題1：這里有幾個量？常量是什么？變量是什么？
問題2：你能用含有v的代數式表示t嗎？（t=）
問題3：利用問題2中的關系式補全下表中的t（表格中給出兩個t的數值是為了不讓學生在計算上浪費時間）。
問題4：隨著平均速度v的增加，全程所用時間t 發生了怎樣的變化？
問題5：給定變量v的值，t都有唯一確定的值與它對應嗎？
問題6：時間t是速度v的函數嗎?為什么？
問題7：時間t是速度v的一次函數嗎？
通過一個情境和一組問題，復習函數概念，區別于設計初稿中由一個關系式直接問函數概念，此處把問題細化，每個問題學生都很容易回答，設置問題串的目的主要為問題6做鋪墊，在問題中感受函數定義中的三個要素：兩個變量；一種變化關系；對一個變量，另一個變量有唯一確定的值與之對應。
情境引入后，緊接著再給出4個生活實例要求學生列出函數關系式，其中兩題承接情境引入形成一個完整的情境設計，分別列出一個一次函數和一個一次函數特例正比例函數。另兩題均為反比例函數，一題是以圖表形式呈現，避免函數表現形式過于單一，一題是利用書本例子，使得函數表達式中的k出現負值，而更完整。
通過5個函數表達式的展示，請學生找出已學過的函數，并寫出一般式。然后觀察剩下的三個表達式，請學生先從形式上找它們的共同點并結合已學過的函數的一般式總結這些新的函數的一般式。通過展示的一次函數和正比例函數的一般式學生更容易通過對比寫出新的一般式。
接著留下正比例函數和新寫的函數一般式，讓學生回憶小學學過的兩個量之間的比例關系，說出正比例函數中兩個變量成什么比例關系，并且成這樣的比例關系的兩個量之間什么是一定的。通過填空的形式學生更易回答。緊接著問新的函數關系的兩個變量什么是一定的，成什么比例。學生很容易回答上來。這樣的設計既回顧了小學比例關系，又與本課密切相關，抽象解釋出概念的過程，自然又有效。
在得出概念及符號表達式后，總結注意點，并結合式子變形，得出反比例函數的另外兩個表現形式。然后給出例1：下列函數中，哪些是y關于x的反比例函數？如果是，比例系數k是多少？
（1）y= （2）y=- （3）y=1-x（4）y=-（5）y=（6）y=（7）y=3x-1（8）y=
此題設計中預計學生會在判斷（2）的比例系數k上出現問題，另外可能會在（8）的判斷中忘記k≠0的要求而判斷錯誤。因此在講解此題的時候可以考慮由學生獨立完成，學生逐一回答，并建議學生在判斷是否反比例函數的時候盡量往三個表達式的不同形式上靠，在學生出現錯誤的時候及時糾正。
訓練可以讓學生對反比例函數概念的判斷、對函數表達式的幾種不同形式有更深刻的印象。
在（8）出現錯誤時可引出：
如果函數y=為反比例函數，求函數的解析式。隨后增加學生練習：當m取什么值時，函數y=（m+1）xm-2是反比例函數？
例2以教師講解為主，板書規范書寫格式。鞏固練習讓學生上黑板板書。之后設計4個簡單的課堂反饋練習，目的是實時檢測課堂效果。
在練習了較多數學題目后，重新回到生活中的數學，給出一個實例：要建造一個面積為260m2的三角形花壇，底邊長是a（m），高度是h（m），h是a的反比例函數么？（此題的判斷需要學生對列出的式子進行簡單的變形變為反比例函數的一般形式來判斷，從中希望能讓學生再一次深化理解：當兩個變量的乘積是一定不為零的常數時是反比例函數。）
實例后增加兩個變形：1.如果花壇是一個等腰三角形，周長是300m，底邊長為a（m），腰為b（m），那么a是b的反比例函數么？2.如果花壇是一個等邊三角形，周長C（m）是邊長a（m）的反比例函數么？通過反例進一步讓學生學會判斷一個函數是否是反比例函數。
然后可以讓學生根據生活實例去編題，讓同伴判斷是否是反比例函數，既可以加深學生對反比例函數概念的理解，又可以在學生學到疲倦的時候再次活躍課堂氣氛。
最后引導學生總結本節課所學內容，并留下課后思考題，做到將本節課的知識遷移到別的學科，注重學科之間的結合。我改進后的設計去掉了待定系數法，使得本課的目標更明確，放棄了難題的訓練，更注重對于抽象概念的教學過程，舍得在抽象概念教學過程中花時間，讓更多學生參與其中，避免了教師教的痕跡，設計問題更具針對性，注重啟發學生思考。情境設計雖貼近生活實際，但密切聯系數學問題，避免了學生回答脫離預設想法。
【課例呈現】
一、教學目標
1.理解反比例函數的概念。
2.能根據實際問題的條件確定反比例函數的表達式。
3.會判斷一個給定的函數是否為反比例函數。
4.通過探索現實生活中數量間的反比例關系，體會認識反比例函數是刻畫現實世界特定數量關系的一種數學模型，進一步深化理解函數的概念。
二、教學重點難點
重點是經過抽象反比例函數概念的教學過程，理解反比例函數的概念。
難點是領會反比例函數的意義，理解反比例函數的概念。
三、教學過程
（一）創設情境，激發熱情
【問題1】師：接到參賽通知，馮老師開車從蘇州到南京，路上遇到一些問題，正好與本課所學內容相關，同學們愿意幫助老師一起來解決這些問題么？
生（眾）：愿意。
師：那就讓我們一起開始一段短暫的旅行吧。
PPT顯示引例：接到參賽通知，馮老師開車從蘇州到南京，車的里程表上顯示一共行駛約200km，全程所用時間t（h）隨平均速度v（km/h）的變化而變化。
師：這里有幾個量？常量是什么？變量是什么？
生1：3個，常量是200，變量是時間t和速度v。
師：你能用含有v的代數式表示t嗎？
生2：t=。
師：非常好，那么請同學順著這位同學的回答來幫老師填寫完整下表。
學生完成，生3回答。
師：隨著平均速度v的增加，全程所用時間t發生了怎樣的變化？
生4：速度v變大，時間t變小（小學里對反比例關系的變量間的關系表述，這里沒有刻意去研究k的符號問題，僅僅讓學生有一種反比的感受）。
師：給定變量v的值，變量t都有唯一確定的值與它對應嗎？
生（眾）：是的。
師：時間t是速度v的函數嗎？為什么？（特意在上個問題的引導下去問函數的抽象定義，為了使得學生體會一一對應的關系）
生5：是的，因為t是隨著v的變化而變化的，并且它們之間是一一對應的關系。（學生雖然不能完整敘述定義，但是基本能說出幾個要點。）
教師展示完整答案：因為在這個變化中，有兩個變量v和t，給定變量v的值，變量t都有唯一確定的值與它對應，所以t是v的函數。
（因為有一組問題的引導，生5回答的時候答出了兩個變量之間滿足函數關系必須要有一一對應的關系。這也是函數概念中比較抽象、學生易忘記的地方。教師在學生回答完后展示完整答案并強調注意點是有必要的，視覺的感受會比聽覺更直接更深刻。）
師：時間t是速度v的一次函數嗎?
生6：不是，因為不符合一次函數的表達式。
師：很好，我們的現實生活中存在許許多多的變量，而函數是刻畫變量之間關系的一種有效數學模型，下面請同學幫老師再來寫寫生活中不同的函數關系式。（此時并沒有著急提問這是什么函數？而是另外給出一系列的生活場景，讓學生進一步感受函數在生活中的意義。）
【問題2】用函數關系式表示下列問題中變量之間的關系。
（1）在出發之前，馮老師去加油站把油加滿，已知汽車的油箱為50升，路程中平均每千米耗油量為0.1升，寫出油箱中剩余的油量Q（升）與行駛路程x（千米）的函數關系式。
（2）油每升7.6元，實際加油費用y（元）隨加油量x（升）的變化而變化，寫出y與x的函數關系式。
（3）把一張百元人民幣兌換成零錢，如果手邊有10元、5元、20元等不同面值的零錢，兌換的張數y隨面額x的變化而變化，寫出y與x的函數關系式。
（4）實數m與n的積為-150，寫出m與n的函數關系式。
（二）合作交流，探求新知
師：t=、y=7.6x、Q=50-0.1x、y=、m=中哪些是我們學過的函數？它們是什么函數？
生7：y=7.6x、Q=50-0.1x是我們學過的一次函數。
師追問：一次函數的表達式是什么？
生7：y=kx+b（k為常數，k≠0）。
師：y=7.6x還被稱作什么函數？
生7：正比例函數。
師：正比例函數的一般式是什么呢？
生7：y=kx+b（k為常數，k≠0）。
師：很好，正比例函數是一次函數y=kx+b當b=0時的特殊形式。那么請同學們觀察剩下的幾個函數表達式，從形式上看有什么共同特征？可以與你的同伴討論一下。
眾生討論，教師參與。（在給出了一次函數及特殊情況正比例函數的表達式后，讓學生類比一次函數先從形式上來認識反比例函數）
生8：我認為剩下的幾個函數從形式上看左邊都是一個變量，右邊都是一個分式。并且分式的分母是一個變量，分子是常數。
師：非常好，還有同學補充么？
生9：我認為等式左邊是因變量，等式右邊的字母是自變量，并且自變量在分母上，所以不能取0。
師：很好，那你能模仿一次函數還有正比例函數的表達式，給具有共同特征的函數寫個一般式么？
生9：我認為一般式可以寫成y=。
師：非常好，那么我們看看一次函數的k有什么要求，再看看這個函數里的k有什么要求？
生9：k是常數且k≠0。
師（PPT展示，板書修改完整表達式）：很好，在大家的幫助下，我們得到了新的函數的表達式，我們再一起仔細來看一下正比例函數和這個新函數的表達式，（此時PPT擦去y=kx+b，僅留下y=kx和y=的表達式以及相關的4個函數表達式），請同學們回憶小學學過的比例關系，想想看在這兩個表達式中，兩個變量都成什么比例關系？
學案呈現回憶小學學過的比例關系（學生一邊接受教師的提問，一邊對照學案的填空，回答更有針對性）
兩個量的一定，這兩個量成比例。
兩個量的一定，這兩個量成 比例。
生10：在正比例函數中，兩個變量是成正比例的。
師追問：那么成正比例關系的兩個量什么是一定的？
生10：這兩個量的比值是一定的。
師：太棒了，這位同學對小學知識掌握得很好。那么再請一位同學說說看，符合y=函數特征的兩個變量成什么比例關系？
生11：成反比例關系。
師追問：滿足什么一定關系的兩個變量成反比例關系？
生11：這兩個變量的乘積是一定的。
師：很好，那么如果要你們給這些函數取個名稱的話可以叫什么呢？
生（眾）：反比例函數（到這里本課的概念部分全部引出，基本上是學生思考、討論、探索自主得出。）
師板書課題《11.1反比例函數》，與學生一起填寫完整反比例函數概念。
新授概念：形如的函數叫做函數，其中x是量，y是x的，k是。
【階段小結】反比例函數的定義中，有兩點要注意：
①k≠0，②x≠0（兩個不為零）
利用所學知識，對于y=（k≠0）可變形為下列哪些形式。
①y=kx-1（k≠0）②xy=k（k≠0）③=k（k≠0）
【階段小結】y是x的反比例函數的幾種等價形式:
y=（k≠0）
一般形式
（三）例題講解，理解概念
師：我們知道了什么是反比例函數，那么同學們能從下面這些函數中找出反比例函數么？
例1：下列函數中，哪些是y關于x的反比例函數？如果是，比例系數k是多少？
（1）y=（2）y=-（3）y=1-x（4）xy=-2
（5）y=-（6）y=（7）y=3x-1（8）y=
學生練習，教師巡視。請學生逐一回答。
生12：我認為（1）中y是x的反比例函數。
師：好的，請說出比例系數k。
生12：（1）中k=4，（2）也是，但是我不確定k是多少。
師：（2）中的k不太好找，不如我們從反比例函數的一般式來看，我們可以把（2）寫成y=-×（板書）請你接著寫寫一般形式。
生12：y=
師：那此時你能看出k是多少么？
生12：k=-。
師：很好，當我們不能很容易看出k時，不如把函數寫成反比例函數的一般形式再來找k。
生13：（4）（7）也是，k分別是-2和3。
師：好的，請問（4）（7）分別是反比例函數的哪種表達形式？
生13：xy=k（k≠0）和y=kx-1（k≠0）。
師：非常好，還有反比例函數么？
生13：我認為（8）也是，比例系數是a。（此時出現預設的錯誤，并且下面學生在竊竊私語。）
師：老師好像聽到有不同意見，請有不同意見的同學來說說看。
生14：我認為（8）不是，因為沒有強調k≠0。
師：非常好，這位同學考慮得很細致，的確，在判斷的時候一定要注意比例系數k必須不為0。
（另外對學生不太理解的（7）也作適當的講解。）
【階段小結】我們在判斷一個函數關系式是否是反比例函數的時候，可以盡可能地往三種不同表達形式上去靠，或者通過公式變形去靠近反比例函數的一般形式，這樣更容易找出k的值。
例2：如果函數y=為反比例函數，求函數的解析式。
教師板書解題過程：
解：由題意得：2k+5=1
k+1≠0，解得：k=-2
k≠-1，k=-2。
反比例函數的解析式是y=。
【小結】做此類題目，把所有滿足的條件都用式子表示出來，解出答案代入原式，不要誤將這里的k當成比例系數k。
【鞏固練習】當m取什么值時，函數y=（m+1）xm-2是反比例函數？（學生板書，答案正確，格式規范。）
（四）課堂反饋，實時檢測
1.下列函數：①y=2x-1；②y=-；③y=x2+8x-2；④y=；⑤y=；⑥y=⑦x（y-1）=1中，y是x的反比例函數的有（填序號）。
2.y是x的反比例函數，比例系數k是-，則y與x的反比例函數關系式是 。
3.已知y=-3xm-7是正比例函數，則m=_______，若是反比例函數，則m=_______。
4.若函數y=（m-3）x是反比例函數，則m=。
（五）合作交流，數學應用
師：我們做了一些題目，鞏固了反比例函數的概念，再來看看所學反比例函數在我們生活中的應用。
【問題】要建造一個面積為260m2的三角形花壇，底邊長是a（m），高度是h（m），h是a的反比例函數么？（此處圖略）
生解答：S=ah=260
ah=520
h=
因為符合反比例函數的一般形式，所以h是a的反比例函數。
師：很好，所以我們在判斷兩個變量是否是反比例函數時，有兩種方法，一是看表達式，二是看兩個變量的乘積是否是一個不為零的常數。再看看下面題目的兩個變形。
1.如果花壇是一個等腰三角形，周長是300m，底邊長為a（m），腰為b（m），那么a是b的反比例函數么？
2.如果花壇是一個等邊三角形，周長C（m）是邊長a （m）的反比例函數么？
師：你還能舉出生活中反比例函數的例子嗎？與同伴交流一下。
（六）反思總結，共同提高
1.引導學生說出反比例函數概念的注意點，并注重與生活實例的結合。
2.引導學生歸納知識、掌握類比正比例函數、總結研究函數的一般方式，為接下來的函數圖像學習奠定基礎。
（七）課后探索，知識遷移
背景知識講解：杠桿原理
動力×動力臂=阻力×阻力臂
如圖，阻力為1000N，阻力臂長為5cm。設動力為y（N），動力臂為x（cm）（圖中杠桿本身所受重力略去不計。杠桿平衡時：動力×動力臂=阻力×阻力臂）。
（1）求y關于x的函數解析式。這個函數是反比例函數嗎?如果是，請說出比例系數；
（2）求當x=50時函數y的值，并說明這個值的實際意義；
（3）利用y與x的解析式說明當動力臂長擴大到原來的n倍時，所需動力將怎樣變化？請學生猜想一下。
想一想：如果動力臂縮小到原來的1/n時，動力將有怎樣的變化。
【教學反思】
在整節的設計過程中，我通過多次反復磨課修改，發現整節課的難點在于對概念的生成，因為課堂教學是一個動態生成的過程，學生隨時會有與施教者預定設計相背離的“意外”出現，因而整節課如何設計有效的問題很重要，施教者有必要引導學生不背離本節課的核心。問題是數學的心臟，是思維的起點，本課的設問主要從引導性問題、探究性問題、鞏固性問題著手，力求遵循學生認知特點和學習規律，達成有效的學習目標。另外我認為在平時的教學中，教師不應僅僅關注本課的知識點，應該多了解、多聯系學生情況，若能結合他們已有知識甚至小學的基礎知識，或者更多地了解他們進入高中以后這部分知識所占的地位來備課，或許能對學生這門學科的生成性學習起到一個很好的推動作用。
本課沒有在題目難度上為難學生，作為一節起始課，沒有必要設置太難的題目，而是更多地讓學生打開思維，用類比正比例函數的定義給出一般式的特征等方式來學習反比例函數，讓學生能通過一節課學會某種數學思想和數學方法。學生經歷主動探索的過程并從中收獲知識是能增強他們學習數學的自信的。
關鍵詞：新課程改革；初中數學教學；合作學習；應用研究
初中是義務教育向高等教育過渡的關鍵時期，而對于數學而言，不僅是一門邏輯科目，還是一門應用性科目，所以在教學過程中需要突出“學以致用”的理念。合作學習是由國外傳入中國的一種科學的學習方法，即通過傳統個體的摸索學習轉變為整體的配合學習、探討學習以及探索學習，在學習過程中體現團隊的精神以及凝聚力，同時善于聽取和采用他人的思想，并研究自身的個性思想，為學習提供基礎。新課程背景下，合作學習在初中數學教學中的應用對于實施素質教育具有重要的意義。
一、當前初中數學合作學習開展面臨的問題
1.學習自主性無法突出
當前的義務教育，學生學習的主動性普遍無法體現出來，究其原因，主要是學生受到長期應試教育思想的影響，對學習已經麻木，導致知識接受是被動且古板的，學習主動性不高。而對于合作學習來說，開展的基礎是學生本身具有主動性，至少具有主動意識，所以主動性不突出也是目前初中數學教學合作學習開展首先需要克服的第一難題。
2.學習的目標性不明顯
任何學習都需要具備一個明確的目標，而數學學習也不例外，對于合作學習方法下的數學學習而言，學習的目標存在一定的隱蔽性，特別是不同學生的學習目標存在差異性，從而導致學習目標不夠明顯，對于整個小組合作學習的效果也造成了不良的影響。很多教師則過于放任合作學習，讓學生自由發展，從而導致學習過程成為一個形式化的過程，而且學習目標也十分不明顯，這也是合作學習法推行需要克服的主要問題。
3.評估手段缺乏科學性
教學評估是任何教學活動必不可少的內容。雖然合作學習是一個探索主動學習的過程，但是依然需要教師的科學評估作為依據和指導，便于學生了解學習的效果。
二、新課改背景下初中數學合作學習的策略
1.轉變課堂主體，體現學生主動學習的意識
對于教師而言，要想提升合作學習的效果，首先需要讓學生自身具有主動學習的意識，這就需要轉變課堂教學的主體了。即學生是課堂的主體，教師是課堂的主導者，教師需要完成學習任務的制定、素材收集以及討論問題的匯總。例如，新人教版九年級教材所涉及的“反比例函數”的內容中，教師選擇一堂課作為合作學習，首先教師需要任務，即像“了解什么是反比例函數”“反比例函數與正比例函數的區別是什么”“反比例函數的圖形性質是怎樣的”等等，然后學生可以在10分鐘時間內完成多人一組的自由分組，進行合作學習，學生通過一段時間的資料查詢、課本分析及小組討論后，對于研究任務進行揭曉。又如，對于反比例函數的概念，學生可以通過書本很快找到，即兩個變量相乘是一個常數，而這個常數不等于0，即可以稱這兩個變量互為反比例。然后是問題“反比例函數與正比例函數的區別是什么”，學生可以通過討論進行分析和研究，一些學生認為區別可以從之前所學正比和反比的概念去區分，即假設一個變量變大，那么另外一個變量變大，則可以確定函數為正比例函數，而相反，一個變量變大，而另一個變量變小，則可以判定函數為反比例函數，而有些學生則通過函數圖象進行判斷，正比函數圖象是一條傾斜的直線，而反比例函數圖象則是兩條不相交的曲線。最后是小組合作探索，小組學生畫出兩個函數圖象，使個別學生受到啟發，很快得出結論：正比例函數的圖象可以與x軸、y軸有交點，而反比例函數圖象不行，只能無限趨近于x軸和y軸，從而完整區分兩者，而根據這一顯著的區別，也能得出反比例函數的遞增遞減特性。
2.強化引導方法，體現數學學習的明確方向
采用合作學習方法，要求教師從課堂教學的主宰者轉化為課堂教學的引導者。這不代表采用合作教學教師就可以完全放手，而是對教師的教學水平提出了更高的要求。學生對于學習主要內容缺乏認識，會讓學習過程缺乏方向性，也存在一定的盲目性，這就需要教師適時進行教學干涉和引導。以“三角形內角和定理”教學為例，教學中從學生已有的知識結構出發，讓學生回憶在小學階段是如何得到“三角形的內角和是180°”的結論，并結合認識實際，讓學生在剪一剪、拼一拼的動手操作中，再一次由“形”到“數”感受到上述結論的形成過程，利用學生在度量時可能得不到“三角形的內角和是180°”的現象，引起認知的困惑，教師進而順勢引導，讓學生觀察黑板上所拼的圖形進行思考：我們已經用拼圖的方法將三個角放在一起，能否通過作圖的方法達到這一目的？給出一定時間讓學生進行討論交流共同探索，發現可以通過作平行線實現這一目標。教師在活動中巧妙地引入課題，讓學生經歷了定理的“猜想―驗證”過程，又獲得了初步的數學活動經驗，培養了學生轉化思想、分類討論思想等良好的數學品質。所以，對于合作學習而言，教師的引導作用是合作學習能否取得成功的關鍵因素。
總之，數學本身就是一門應用性較強的科目，運用合作學習法具有一定的優勢性。同時，合作學習過程中的自主意識培養以及思維能力形成都是傳統教學中無法比擬的。合作學習要達到良好的教學效果，需要我們一線教師的不斷努力，課前做足準備是前提條件，課中的因勢利導、循循善誘是基礎，課后的不斷總結與大膽創新是保障。
參考文獻：
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關鍵詞：函數；圖像；性質；核心；教學體會
中圖分類號：G632 文獻標識碼：B 文章編號：1002-7661（2013）04-076-01
一、初中數學中函數概念的核心地位與概念的核心
函數是從數量關系的角度描述運動變化規律的數學概念，是從數學角度反映千變萬化的世界的重要模型。
從數學科學本身看，函數概念的產生是數學發展的重要里程碑。初等數學與高等數學的重要分界是：前者基本上是常量數學，而后者則主要是變量數學，而變量數學的主要研究對象基本上都是以函數形式呈現的。
從數學教育角度看，函數無疑也是中學數學課程的一個核心概念。在學習函數概念之前，數學課程中基本是討論靜態的數學問題，教學中引入函數概念，不僅使討論內容增加了運動變化的問題，而且提供了居高臨下重新認識已學內容的觀點，使得中學生頭腦中的數學知識體系的得到擴大與提升；對基本初等函數的學習，使中學生的數學思維更為活躍；函數圖象是使中學生體會數形結合的思想方法的典型范例。
二、對函數圖象與性質知識的深層次理解
初中數學中，函數專題包含四部分內容.具體如下：
（1）函數的概念及圖象：函數的概念，函數的表示方法，函數的定義域，函數的圖象；
（2）一次函數：一次函數的解析式，一次函數的圖象，一次函數的性質，直線與坐標軸的交點，一次函數與一次方程、不等式，實際問題與一次函數；
（3）反比例函數：反比例函數的解析式，反比例函數的圖象，反比例函數的性質，實際問題與反比例函數；
（4）二次函數：二次函數的解析式，二次函數的圖象，二次函數的性質，拋物線與坐標軸的交點，二次函數與二次方程、不等式，實際問題與二次函數。
函數的圖象與性質貫穿著這個專題的每個內容，是每種函數都要著重研究的對象，通過對函數的圖象與性質的研究，可以讓學生更好的理解函數的概念，更好的應用函數解決相關問題。
三、學生常見的問題及解決的策略方法
（1）從函數圖象中獲取信息解決問題的困惑
函數圖象中總是蘊含著很多的信息，學生的困惑是如何把實際問題與函數圖象聯系起來，學生總是不知如何提取重要信息，通過例題講解，要讓學生學會如何在函數圖象中獲取信息，并通過圖象中的數據來求解 。在教學中讓學生學會數形結合的方法、體會數形結合的思想是解決問題的關鍵。老師通過例題的講解，讓學生體會何時需要觀察圖象確定信息，何時需要使用解析式通過計算來進行定量分析。
（2）描述反比例函數單調性及應用問題的困惑
學生在描述和使用反比例函數的單調性的時候總是容易犯一個錯誤：忘記考慮所在象限.反比例函數并不是連續單調遞增或遞減的，而是具有局部的增減性，因此在描述反比例函數的單調性時，必須要強調在各自象限內。關于使用單調判斷函數值的大小時，更應該注意自變量是否同號或異號。這一點應該讓學生記住，并且通過例題讓學生真正體會和理解。這些問題實際上是強調了反比例函數變化趨勢的描述；比較兩個函數值的大小，教學中教師要注意給學生分析清楚兩個自變量是否在同一個增減區間內；交代明白比較大小時要注意自變量異號時應使用函數值的正負判斷，讓學生去體會函數值同號時應使用函數單調性來判斷的技巧。
（3）通過函數圖象確定解析式中系數關系問題的困惑
同一類函數的圖象是類似的，例如一次函數的圖象都是直線，反比例函數的圖象都是雙曲線，二次函數的圖象都是拋物線。但是隨著系數的變化，圖象的形狀也會有小幅變化.另外系數也影響著函數圖象的形狀和位置。在同一坐標系中兩個函數圖象的位置與形狀、如何通過圖象之間的關系來確定系數的大小關系是學生難以解決的問題，所以通過例題可以讓學生理解。教師在講解這一類問題時，要從不同的角度去思考。
（4）利用函數圖象分析實際問題的困惑
實際問題、動態幾何等問題中經常會有兩個變量的函數關系.要學會通過問題確定函數圖象，有些可以確定解析式，有些不容易確定解析式，但可以通過變量的變化趨勢分析得到圖象。已知問題中兩個變量的函數圖象，判斷實際問題中的相關條件。所以教師在講解過程中要引導學生如何從生活實際中提煉出有關數學問題，再用數學方法解決實際問題 。
四、教學體會小結