發布時間：2023-06-22 09:32:08
序言：寫作是分享個人見解和探索未知領域的橋梁，我們為您精選了8篇的函數最值的應用樣本，期待這些樣本能夠為您提供豐富的參考和啟發，請盡情閱讀。
一、函數f（x）=x2-2x+2在區間[-1，3.2]上的最大值和最小值的動態演示
1.利用幾何畫板畫出f（x）=x2-2x+2的圖像，在x軸上繪制好A點（-1，0）和B點（3.2，0），即區間[-1，3.2].在線段AB上構造一個點C，度量出C點的橫坐標，記為x，再計算出f（x），繪制好D（x，f（x））；選擇C、D【構造】|【軌跡】，得到f（x）=x2-2x+2（x∈[-1，3.2]）的圖像.
2.隱藏圖像上不要的元素，使圖像更加簡潔.過D點作y軸的垂線段交y軸于E點.C點在線段AB上移動時，D點的縱坐標與E點的縱坐標一樣.通過E點的值的變化可以清晰地反映函數f（x）=x2-2x+2在區間[-1，3.2]上的最大值和最小值.
3.選擇點E【編輯】|【操作類按鈕】|【動畫】，制作好按鈕.只要按就可以讓F點在圖像上運動起來，觀察出何時取最大值和最小值，最后將E、F的標簽改為x、f（x），如圖1.
圖1
二、函數f（x）=x2-2x+2在區間[t，t+2]上的最大值和最小值的動態演示
1.利用幾何畫板畫出f（x）=x2-2x+2的圖像，在x軸上繪制一點A，度量A的橫坐標，記為t，計算t+2；繪制點B（t+2，0），構造線段AB，在線段AB取一點P，度量其橫坐標，記為x，計算f（x），繪制點M（x，f（x））；選擇P、M【構造】|【軌跡】，得到f（x）=x2-2x+2（x∈[t，t+2]）的圖像.
2.隱藏圖像上不要的元素，使圖像更加簡潔.作出函數圖像的對稱軸，過A、B兩點作x軸的垂線段，作出線段PM，再過M作y軸的垂線段（虛線），最后將A、B、P、M的標簽改為t，t+2，x，f（x），如圖2.
圖2
3.拖動點t讓函數f（x）=x2-2x+2（x∈[t，t+2]）的圖像動起來.觀察函數在區間[t，t+2]的最大值和最小值，并從中總結出需要的結論.
4.當t≤-1時，函數的最大值為f（t），最小值為f（t+2）；當-1
三、函數f（x）=x2-2tx+2在區間[-1，1]上的最大值和最小值的動態演示
1.在x軸上構造一點A，過A點構造x軸的垂線，再在垂線上構造一點B，度量其縱坐標，記為t，并將B點標簽改為t.
2.繪制函數f（x）=x2-2tx+2圖像；繪制點C（-1，0）、D（1，0），構造線段CD，在線段CD上取一點E，度量其橫坐標，記為x，計算f（x），繪制點F（x，f（x））；選擇E、F【構造】|【軌跡】，得到f（x）=x2-2tx+2（x∈[-1，1]）的圖像.
3.隱藏圖像上不要的元素，使圖像更加簡潔.作出對稱軸，并作出線段EF，再過F作y軸的垂線段（虛線）.將點E、F的標簽改為x，f（x）.
編者按：最值問題遍及高中數學的所有知識點，綜合性強，是高考的必考內容.同時，最值問題可以將各種知識作為背景來進行考查，形式多樣，不容易被考生所掌握.如果考生從最值問題的常見類型、求解策略以及解答時的易錯點三個角度來備考并加以掌握，其實最值問題也沒想象中那么難.
近幾年高考中的最值問題，在考查內容上，涉及的知識點廣泛，如求函數的值域，求數列中的最大項或最小項，求數學應用問題中有關用料最省、成本最低、利潤最大等問題；在解題方法上，求最值的方法有很多，如判別式法、均值不等式法、變量的有界性法、函數的性質法、數形結合法等.
1.二次函數的最值
求解二次函數的最值一般是先配方，再借助二次函數的圖像解答.數學中的很多最值問題最后常轉化為二次函數的最值問題來求解.
例1 （2008年高考重慶理科卷）已知函數的最大值為M，最小值為m，則的值為
難度系數 0.70
解 選C.
小結 二次函數的最值問題是其他很多最值問題（如三角函數、數列、解析幾何、應用性最值問題）的基礎.最值問題要特別強調“定義域優先”的原則，本題實質上是求給定區間內的二次函數的值域問題.
2.導數法求最值
導數的引入為函數最值的求解開辟了一條新路，我們通常用導數法求函數的最值要比用初等方法簡便得多，因此導數法求最值也是一種不可忽視的方法.
設函數在上連續，在上可導，求的最大值與最小值的步驟如下：
①求函數在內的極值；
②將函數的各極值與， 進行比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值.
例2 （2011年高考江西理科卷）設上存在單調遞增區間，求a的取值范圍；
（2）當在上的最小值為，求在該區間上的最大值.
難度系數 0.60
解 （1）解答過程省略.
（2）令，可得兩根所以在和上單調遞減，在上單調遞增.
當時，有，所以在上的最大值為又即在上的最小值為于是得從而在該區間上的最大值為
小結 本題主要考查函數與導數的基礎知識.導數是研究函數單調性及最值的有效工具.
3.均值不等式求最值
均值不等式：若，則當且僅當時等號成立.應用均值不等式要注意“一正、二定、三相等”的要求.
例3 （2012年高考湖南理科卷）已知兩條直線 和l1與函數y=|log2 x|的圖像從左至右相交于點A，B ，l2與函數y=|log2 x|的圖像從左至右相交于點C，D.記線段AC和BD在x軸上的投影長度分別為a，b.當m 變化時，的最小值為
難度系數 0.55
解 由題意得選B.
小結 本題除了考查考生對對數函數圖像的理解外，還考查利用基本不等式求最值的方法.考生在解題時應注意將配湊成的形式，再利用基本不等式進行求解.
4.輔助角型三角函數最值
求函數y=asin ωx+bcos ωx的最值可以轉化為求y=Asin（ωx+φ）的最值，再利用三角函數的有界性可求.
例4 （2011年高考新課標理科卷）在則AB+2BC的最大值為 .
難度系數 0.65
解 最大值為2
小結 本題考查正弦定理的應用及三角函數的性質和公式的應用，熟練運用化一公式并利用函數的有界性處理是解答問題的關鍵.
不等式的恒成立問題
不等式的恒成立問題常轉化為函數的最值問題來求解.如：恒成立，即恒成立，即例5 （2012年高考天津理科卷）已知函數的最小值為0，其中
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）若對任意的有成立，求實數k的最小值；
（Ⅲ）證明難度系數 0.50
解 （Ⅰ）據題意可知函數 的定義域為由當x變化時的變化情況如下表：
因此， f（x）在x=1-a處取得最小值.由題意有f（1-a）=1-a=0，所以a =1.
（Ⅱ），取，有，故不合題意.當時，令，即，于是
令，得
①當時， 在上恒成立，因此在上單調遞減.從而對任意的，總有，即在上恒成立.故符合題意.
②當時，對于，故在上單調遞增.因此，當取時，，即不成立.故不合題意.
綜上可知，k的最小值為.
（Ⅲ）證明過程省略.
關鍵詞：初中數學；二次函數；多角度；區間
二次函數求最值類的問題千變萬化，然而只要掌握一定的技巧，學會多角度分析，定能找到解題思路，以不變應萬變，順利解決難題。本文以二次函數求最值問題的題型為基礎，進行了解題模式的探討。
一、確定區間，結合圖象性質
數形結合是解決數學問題的有力武器，在解決二次函數求最值的問題中也不例外，通過結合圖象性質，快速準確地確定區間，開辟出解題思路。
1.定軸定區間，直接判斷
當二次函數所給的函數區間固定，對稱軸固定時，我們可以通過做出函數圖形，清晰直觀地判斷和計算出函數的最值。這類題型比較簡單，所以我在教學中，主要教會大家準確地做出函數圖形，從而解決問題。
比如，對于定軸定區間函數求最值問題：求函數y=-x2+4x-3在區間[1，4]的最大值及最小值。首先我們分析二次函數的表達式，二次項系數小于零，說明函數圖象開口向下，函數的對稱軸為x==2。然后我們根據區間范圍，函數的對稱軸，開口方向可以做出該二次函數的草圖。通過觀察這一函數的圖象，我們可以得出二次函數的最大值應在對稱軸處取得，二次函數的最小值在端點x=4處取得，通過將x軸的坐標軸代入函數表達式，即可求出相應的最大值與最小值，從而得解。
講完例題后我向學生強調了這類題型的易錯點。定軸定區間類的二次函數求最值問題相對來說是最簡單的求最值問題，然而學生因為粗心大意也會發生錯誤，比如畫錯開口方向，大家一定要記住二次項系數大于零開口向上，二次項系數小于零開口向下。然后端點處和對稱軸處的函數值只要將對應的x值代入函數表達式，便可準確地求出，進而做出函數圖象。
在這部分知識的教學中，我通過強調做函數圖象的細節，引導學生在做題時通過直接地觀察，準確地得到最值，提高了課堂的效率。
2.定軸動區間，相對位置
定軸動區間類的二次函數其對稱軸確定，然而閉區間是不確定的。這類問題考查的是對稱軸與函數區間的相對位置關系，當函數區間發生變化時，隨著與對稱軸的相對位置發生變化，函數的最值也可能會發生變化，所以學生要掌握分類討論的思想，討論不同情況下的函數最值。
例如，求函數y=x2+2x-1在區間[t，t+2]上的最大值與最小值。這道題的類型屬于定軸動區間類問題，首先我們確定函數的對稱軸為x=-1。隨著t的取值不同，我們發現可以將這一問題分為三種情況進行討論，一是當對稱軸位于區間[t，t+2]的函數右側時，二是當對稱軸位于區間[t，t+2]的函數內時，三是當對稱軸位于區間[t，t+2]的函數的左側時，進而可以將t的值也劃分為三個范圍進行討論。在第一種情況下，t+2
在上述例題的教學中，我通過引導學生進行分類討論，將問題分為各種情況然后求出最值，思路清晰，條理明確，能夠完整準確地確定該類二次函數的最值，取得了很好的教學效果。
3.定區間動軸，考慮變量
對于定區間動軸類的二次函數問題，由于區間固定而對稱軸不確定，因此函數的最值也會隨著對稱軸與區間的相對位置變化而發生變化，因此解決這類問題同樣需要進行分類討論，與定軸動區間類最值問題相似。
例如，求二次函數y=x2-ax+1在區間[0，2]上的最小值。我引導學生依照定軸動區間問題的求解思路，將該問題分成三種情況進行討論。通過計算，可得到二次函數對稱軸為x=，當區間范圍內的函數位于對稱軸左側時，即a>4時，函數在區間[0，2]內是單調遞減的，因此二次函數在x=2處取得最小值，為5-2a。當對稱軸包含在區間范圍內的函數時，即0≤a≤4，由于該二次函數開口向上，所以在對稱軸處取得最小值，為-+1。分析到這一步的時候我向學生強調了求最大值的做法，這道題僅讓求最小值，而恰好對稱軸處為最小值，若這道題還要求求出最大值的話，學生也應按照定軸動區間類問題中這種情況下的解題思路再次進行分類討論。當區間范圍內的函數位于對稱軸右側時，即a>0時，函數在區間[0，2]內是單調遞增的，因此，二次函數在x=0處求得最小值1。
在上述問題的教學中，我通過引導學生利用定軸動區間類最值問題的求解技巧與思路，順利地探求出動軸定區間類問題的求解方法，通過這樣類比與分類的討論思想，讓學生成功地理解與學會了這部分數學知識，高效地完成了教學目標。
二次函數的對稱軸位置、函數區間都會對二次函數的最值造成影響，學生在解題時，一定要看清題目對對稱軸和區間的要求，多角度分析問題，采取正確的解題策略。
二、含有系數，字母視為常數
有時求最值問題所給的二次函數的系數是用字母表示的，對于這類問題的求解方法是將字母視為常數，并根據字母所表示的系數的位置不同，可能需要進行分類討論。
二次函數的表達式可寫作y=ax2+bx+c，當所給函數的常數項用字母表示時，自然將其視為常數處理。例如，求二次函數y=x2+2x+a在區間[0，1]上的最大值。二次函數在[0，1]上單調遞增，x=1時函數的最大值為3+a。當所給函數的一次項系數用字母表示時，這類問題就是上述所講的動軸定區間類問題，將字母視為常數，再結合自變量的范圍，按照分類討論的思想進行求解。當所給函數的二次項系數用字母表示時，例如，求二次函數y=ax2+4x-3（a≠0）在區間[1，3]內的最大值。對這一例題進行分析，a的大小首先影響的是開口大小，因此首先分為a>0和a
在上述教學中，我通過教授學生將含有字母的系數視為常數的思想，引導學生攻克了含有參數的二次函數求最值問題，加深了學生對二次函數的理解與運用。
三、實際應用，正確列函數式
二次函數在實際生產生活中也有很廣泛的應用，通過利用二次函數求最值的方法，我們能夠解決最優化問題。對于二次函數在日常生活中的應用問題進行分析，正確列出函數表達式是非常關鍵的步驟。
例如，某商場將進價為2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8臺。為了響應國家“家電下鄉”政策，商場決定降價。冰箱售價每降低50元，平均每天能多售出4臺。那么每臺冰箱降價多少元時，商場每天銷售這種冰箱的利潤最高？最高利潤為多少？求解這道題，我們首先應當確定冰箱的利潤y與每臺冰箱降價x的函數表達式，y=（2400-x-2000）（×4+8）=-x2+24x+3200。我們可以做出該函數的圖象，對稱軸為x=150。
然后結合自變量x的取值范圍，我們可以求得二次函數在對稱軸處取得最大值，也就是說，當冰箱降價150元時，商場的利潤最大為5000元。然后我對二次函數應用題進行了總結，這類問題學生首先應該讀清題意，確定正確的函數表達式，然后應用定軸定區間二次函數求最值的求解方法，即可求得應用題中的最優結果。
在上述教學中，我對如何將實際生活問題轉化為數學二次函數極值問題的處理方法進行了講解，引導學生學會有效地結合函數圖象進行解題，應用二次函數的性質，成功地求解出應用題的正確答案，進一步加深了學生對二次函數知識的掌握。
多角度分析是促進思維、加快解題速度的一種好方法。綜上所述，學生只要切實掌握確定函數區間的技巧，把握住含有系數的二次函數與二次函數的實際應用解法，就能成功地克服部分二次函數難題。總之，從多角度分析和解決問題，有助于迅速找到解題思路，提高學生的數學素養。
參考文獻：
[1]徐薇.淺談初中數學二次函數最值問題的求解[J].數理化解題研究：初中版，2015（13）：26.
關鍵詞：導數 生活 應用
中圖分類號： O172？ 文獻標識碼：A 文章編號：1672-3791（2013）05（c）-0000-00
對于一個實際問題，我們可以建立數學模型，就是列出變量之間的數學關系式（函數解析式），求出函數的最大值或最小值，從而達到解決最優化問題.
我們知道在閉區間上連續的函數一定有最大值和最小值，這在理論上肯定了最值的存在性，但是怎么求出函數的最值呢？首先假設函數的最大（小）值在開區間內取得，那么最大（小）值也一定是函數的極大（小）值，使函數取得極值的點一定是函數的駐點或導數不存在的點。另外函數的最值也可能在區間端點上取得。因此我們只需把函數的駐點、導數不存在的點及區間端點的函數值一一算出，并加以比較，便可求得函數的最值。
例1 有一個鐵路線上段的距離為100，某工廠距點為20，，要在線上選定一點向工廠修筑一條公路.已知鐵路線上每千米貨運的運費與公路上每千米貨運的運費之比為，為了使貨物從供應站運到工廠的運費最省，問點應選在何處？
分析 這是一道實際生活中的優化問題，建立數學模型，運用導數知識求函數的最值非常簡單.
解析 設點選在距離點處，，則
設鐵路上每千米貨運的運費為，則公路上每千米的運費為（為常數）.設從點到需要的總運費為，則，即
.
下面求在區間上的值，使函數的值最小.
上式兩邊求導數，得
令，得，，故.
因為，所以，這時，與閉區間端點處的函數值相比較，由于，，因此，當時，的值最小，即點應選在距離點處，這時，貨物的總運費最省.
點評 以導數為工具分析和解決一些函數問題，以及一些實際問題中的最大（小）值問題，關鍵是要建立恰當的數學模型，了解導數概念的實際背景.
例2 某市旅游部門開發一種旅游紀念品，每件產品的成本是元，銷售價是元，月平均銷售件.通過改進工藝，產品的成本不變，質量和技術含金量提高，市場分析的結果表明，如果產品的銷售價提高的百分率為，那么月平均銷售量減少的百分率為.記改進工藝后，旅游部門銷售該紀念品的月平均利潤是（元）.（1）寫出與的函數關系式；（2）改進工藝后，確定該紀念品的售價，使旅游部門銷售該紀念品的月平均利潤最大.
分析 運用導數的基本思想去分析和解決問題，用導數的知識求可導的連續函數的最值，這是導數作為數學工具的具體體現.
解析 （1）改進工藝后，每件產品的銷售價為，月平均銷售量為件，則月平均利潤（元），
與的函數關系式為
（2）由得，（舍）
當時；時，函數 在取得最大值.故改進工藝后，產品的銷售價為元時，旅游部門銷售該紀念品的月平均利潤最大.
答：該商品售價定為每件30元時，所獲利潤最大為23000元.
點評 導數的引入，大大拓寬了高職數學知識在實際優化問題中的應用空間.
例3 設某物體一天中的溫度T是時間t的函數，已知，其中溫度的單位是℃，時間的單位是小時.中午12：00相應的，中午12：00以后相應的取正數，中午12：00以前相應的取負數（如早上8：00相應的，下午16：00相應的）.若測得該物體在早上8：00的溫度為8℃，中午12：00的溫度為60℃，下午13：00的溫度為58℃，且已知該物體的溫度早上8：00與下午16：00有相同的變化率.（1）求該物體的溫度T關于時間的函數關系式；（2）該物體在上午10：00到下午14：00這段時間中（包括端點）何時溫度最高？最高溫度是多少？
分析 求閉區間上連續函數的最值、極值時，通過研究導函數的符號，列表求得該函數的單調區間、極值點（極值）、端點值，從而求得最大值.也可以不討論導數為零的點是否為極值點，而直接將導數為零的點與端點處的函數值進行比較即可.
解析 （1） 因為，
而， 故，
.
.
（2） ， 由
當在上變化時，的變化情況如下表：
-2
（-2，-1）
-1
（-1，1）
1
（1，2）
2
+
-
+
58
增函數
極大值62
減函數
極小值58
增函數
62
由上表知當，說明在上午11：00與下午14：00，該物體溫度最高，最高溫度是62℃.
點評 列表法是導數應用的一種基本方法，雖然列表的過程稍微有點復雜，但從表格中可以直接得出極值點、單調區間、最值.函數的極值與函數的最值時有區別和聯系的：函數的極值是一個局部性的概念，而最值時某個區間的整體性的概念.
本文主要通過三個實際例子說明導數在生活中的應用，為解決實際問題提供有力的幫助.
參考文獻
【1】王榮成.數學.蘇州大學出版社.1998.
（1） 求參數的取值范圍
多數給出單調性，利用導數研究函數單調性的逆向思維問題，靈活運用等價轉化、分類討論、數形結合等思想方法，建立關于字母參數的不等關系。
（2） 用導數方法證明不等式
其步驟一般是：構造可導函數——研究單調性或最值——得出不等關系——整理得出結論。
（3） 與實際情景下的最優解問題以及幾何圖形相關的最值問題
根據實際條件或幾何知識建立函數關系，然后用導數方法求最值。
下面我們具體來談談導數在解決函數問題中的應用技巧。
首先來了解下導數運用的基本方法：
（1） 求可導函數的單調區間，實質上是解導數不等式，若求減區間，則求不等式f'（x）
（2）證明可導函數f（x）在（a，b）上的單調性，實質上是證明不等式。
若證明函數f（x）在（a，b）上遞增，則證明f'（x）≥0在（a，b）上恒成立；若證明函數f（x）在（a，b）上遞減，則證明f'（x）≤0在（a，b）上恒成立。
（3）求可導函數的極值，實質上是解方程f'（x）=0，然后列表分析即可。
（4）求函數的最值，則在求極值的基礎上與端點函數值比較再確定其最值。
（5） 可導函數為偶函數，則其導函數為奇函數；可導函數為奇函數，則其導函數為偶函數，反之亦然。
（6）導數與方程的根的分布及不等式的綜合，實質是函數單調性、極值與最值得進一步應用，常結合數形結合思想、轉化化歸思想解決問題。
下面我們用實際例題具體談談在高考題型中如何把握導數的運用。
一、利用函數的單調性證明不等式
當要證明的不等式比較直觀時，我們可以直接構造函數；然后用導數證明該函數的單調性，再利用函數單調性達到證明不等式的目的，即把證明不等式轉化為證明函數的單調性.
例1：證明：對?坌x≥0有不等式ln（1+x）≥，x∈［0，+∞）.
證：設f（x）=ln（1+x）-，x∈［0，+∞）.
則f′（x）=-=.顯然對?坌x＞0，有f′（x）＞0.
故函數f（x）在［0，+∞）上嚴格增加，且f（0）=0，從而f（x）≥f（0）=0.
即ln（1+x）≥，x∈［0，+∞）.
下面再來看需要將不等式變形后構造函數，然后利用導數證明該函數的單調性，達到證明不等式的類型題.
例2：已知a，b∈R，b＞a＞e，求證：a＞b（e為自然對數的底）.
證：要證a＞b，只需證lna＞lnb，即證blna-alnb＞0.
現設
f（x）=xlna-alnx（x＞a＞e），
則f′（x）=lna-.a＞e，x＞a，lna＞1，＜1，f′（x）＞0，因而f（x）在（e，+∞）上遞增.又因為b＞a，f（b）＞f（a），blna-alnb＞alna-alna=0，即blna＞alnb.所以a＞b成立.
用函數的單調性證明不等式的步驟：
1.確定函數自變量所在的區間I；
2.求f′（x），確定f（x）在區間I上的單調性；
3.由單調性得到不等式.
解決這類問題的關鍵在于構造函數，其次要把要證明的不等式變形f（a）＞f（b）為的形式，然后在相應的區間上用導數的知識判斷其單調性，再利用單調性得到所證明的不等式.用導數證明不等式，有時還要注意所構造的函數中區間端點處是否連續，即是否要補充函數中端點處的定義.
二、利用函數的最值（或極值）證明不等式
由待證不等式建立函數，通過導數求出極值并判斷極大值還是極小值，再求出最大值或最小值，從而證明不等式，這就是利用函數的最值（或極值）證明不等式的思路.
例3：已知f（x）=x-x，當x，x∈［-1，1］時，求證：|f（x）-f（x）|≤.
證：當x∈［-1，1］時，f′（x）=x-1≤0；
f（x）在［-1，1］上遞減.故f（x）在［-1，1］上的最大值為f（-1）=；函數的最小值為f（1）=-，所以f（x）在［-1，1］上的值域為［-，］.所以，當x，x∈［-1，1］時，|f（x）|≤，|f（x）|≤.
例4：證明：當p＞1，0≤x≤1時，有不等式2≤x+（1-x）≤1.
證：設f（x）=x+（1-x），x∈［0，1］，則f′（x）=p［x-（1-x）］.
令f′（x）=0，即x-（1-x）=0，解得x=（可稱為駐點）.
函數f（x）在駐點、區間端點的函數值分別為f（）=，f（0）=1，f（1）=1.
由于函數在［0，1］上連續，因此函數在［0，1］上存在最大值與最小值，且分別為1，；于是2≤x+（1-x）≤1.
利用函數的最值（或極值）證明不等式的步驟：
1.確定函數自變量所在的區間；
2.求導，確定在區間上的極值，并確定最值；
3.由最值得到不等式.
從例題我們可以看出利用函數的最值證明不等式思路更為清晰，方法更為簡明，有利于避免不等式證明中的一些轉化、放縮等問題.在不等式的證明中，轉化與放縮恰恰又是難點所在，所以以后遇到當函數取最大（或最小）值時不等式都成立的問題時，我們可以把不等式恒成立的問題轉化為求函數的最值問題.因此利用導數求函數最值是不等式證明的一種重要方法.
三、利用Lagrange中值定理證明不等式
在Lagrange中值公式中ξ∈（a，b），我們根據ξ在（a，b）之間的取值可以估計f′（ξ）取值范圍，從而得到不等式，這就是應用Lagrange中值定理證明不等式的思想.
例5：證明：當x＞1時，e＞ex.
證：現設f（t）=e，t∈［1，x］，故f（t）在區間［1，x］上滿足Lagrange中值定理的條件，即存在ξ∈（1，x），使得f′（ξ）=.又f′（t）=e，f′（ξ）=e，從而得到=e.1＜ξ＜x，e＜e＜e，＞e.故有e＞ex.命題得證.
例6：設e＜a＜b＜e，證明lnb-lna＞（b-a）.
證：令f（x）=lnx，x∈［a，b］（e＜a＜b＜e）.顯然函數f（x）在［a，b］上連續，在（a，b）內可導，有Lagrange中值定理知，至少存在一點ξ∈（a，b），使得
f（b）-f（a）=f′（ξ）（b-a）.
即
lnb-lna=（b-a），a＜ξ＜b.
設φ（t）=，則φ′（t）=.當t＞e時，φ′（t）＜0，所以函數φ（t）在（e，+∞）單調減少，從而φ（t）＞φ（e），t∈（e，e）.即＞=，ξ∈（a，b），亦即（b-a）＞（b-a）.故得到
lnb-lna＞（b-a）.
利用Lagrange中值定理證明不等式的步驟：
1.確定函數的對應法則，自變量所在區間［a，b］；
2.驗證函數在區間內滿足Lagrange中值定理的條件，從而得到
f′（ξ）=，ξ∈（a，b）；
3.對f（x）求導，從而得到f′（ξ），由此建立一個等式；
4.由的范圍確定f′（ξ）的范圍，從而驗證不等式.
導數是新課標高考中必考的熱點之一，其中正確求導是利用導數解決問題的前提，用導數研究函數的單調性是核心.運用導數求函數的單調性、極值、最值是高考命題的重點，在選擇題、填空題、解答題都有涉及.而運用導數解決實際問題是函數應用的延伸，由于傳統的數學應用題被概率解答題取代，近幾年很少單獨命題，但結合其它知識，常在最后兩題位置之一考查導數、含參不等式、方程、解析幾何等方面的綜合應用問題，難度較大.從近幾年高考看，全國各地高考試卷都有一個小題（選擇或填空），5分，考查導數的單調性方面的單一運用，如給出導數的圖象等信息，研究原函數的單調性、極值、最值等，以中偏高檔題為主；一個大題，14分左右，以實際應用問題或以函數為載體，主要考查復合函數的求導，導數的單調性、極值、最值，解方程或解不等式，進而研究函數的零點或證明不等式，兼顧考查分類討論.此類題難度階梯上升，逐級增加，具有較強的綜合性，對考生能力要求較高，不僅需要牢固掌握基礎知識、基本技能，還要求考生具有較強的分析能力和計算能力.各地文、理科試卷在導數部分差別較大，理科更注重綜合應用.
命題特點
導數的應用在高考中選擇、填空、解答各種題型均可出現，以解答題為主，難度一般為中高檔題.涉及的題型主要有：函數的求導和用導數解決曲線的斜率、傾斜角、切線方程；運用導數解決實際應用問題，即從實際問題出發，建立函數模型，從而解決實際問題；利用導數求函數的單調區間，或判斷函數的單調性以及函數的極值、最值，進一步研究函數的零點或證明不等式，此類題綜合性強、難度大，一般作為高考壓軸題；從最近幾年的高考試題看，解答題必考，這類題往往具有“穩中求新”、“穩中求活”等特點，更多地體現導數的強大的工具和魅力，注重對數形結合、分類討論、轉化化歸等數學思想方法的考查.
1. 導數研究函數的單調性、極值和最值
導數應用注重基礎知識、通性通法的考查，常與函數、方程等知識相結合，對參數進行分類討論.
例1 [f（x）]為R上的可導函數，且對任意[x∈R]，均有[f（x）>f ′（x）]，則有（ ）
A. [e2015][f（-2015）]
B. [e2015][f（-2015）]e2015f（0）]；
C. [e2015][f（-2015）]>[f（0）]，[f（2015）
D. [e2015][f（-2015）]>[f（0）]，[f（2015）>e2015f（0）]
解析 構造函數[g（x）=f（x）ex]，則[g ′（x）=f ′（x）-f（x）ex].
因為對任意[x∈R]，均有[f（x）>f ′（x）]，且[ex>0]，
[]函數[g（x）=f（x）ex]在[R]上單調遞減，
[][g（-2015）>g（0）， g（2015）
即[f（-2015）e-2015>f（0）e0=f（0），][f（2015）e2015
也就是[e2015][f（-2015）]>[f（0）]，[f（2015）
答案 C
點撥 本題主要考查了利用導數研究函數的單調性以及構造函數比較大小的方法，是一道非常精巧的小題，看似簡單，但技巧性強.根據選項中函數值的形式準確構造函數，再把函數值的大小比較問題轉化為函數的單調性問題來研究是解題的關鍵，其構造方法大家要熟練掌握.
2. 與最值有關的恒成立問題
恒成立問題通常轉化為函數的最值問題來處理.通過構造函數，把不等式轉化為函數，繼而研究函數最值達到解題目的.
例2 已知函數[f（x）=2x+b，g（x）=x2+bx+c（b，c∈R）]，對任意的[x∈R]恒有[f（x）≤g（x）]成立.
（1）當b=0時，記[h（x）=g（x）f（x）]若[h（x）]在[[2，+∞）]上為增函數，求c的取值范圍；
（2）證明：當[x≥0]時，[g（x）≤（x+c）2]成立；
（3）若對滿足條件的任意實數b，c，不等式[g（c）-g（b）≤M（c2-b2）]恒成立，求M的最小值.
解析 （1）因為任意的[x∈R]恒有[f（x）≤g（x）]成立.
所以任意的[x∈R]恒有[2x+b≤x2+bx+c]，
即[x2+（b-2）x+c-b≥0]恒成立.
由二次函數知，[Δ=（b-2）2-4（c-b）≤0]，
化簡得[c≥b24+1]，即[c≥1].
當[c≥1，b=0]時，記[h（x）=g（x）f（x）=12x+c2x]，
因為[h（x）]在[2，+∞]上單調遞增，[h′（x）≥0]在[2，+∞]上恒成立，
即[12-c2x2≥0]恒成立，即[c≤x2]在[2，+∞]上恒成立，
所以[c≤[x2]mim=4]，故c的取值范圍為[1，4].
（2）要證明[g（x）≤（x+c）2]成立，
只需證明[（2c-b）x+c（c-1）≥0]在[x≥0]時恒成立.
在[c≥1，]的情況下，[c（c-1）≥0]，
而[c≥b24+1≥][2b24×1=|b|]，
可見[2c-b=c+（c-b）>0]，
故當[x≥0]時，一定恒有[（2c-b）x+c（c-1）≥0]，證畢.
（3）由（2）得，[c≥|b|].
當[c=|b|]時，[c=2，b=±2]，
這時驗證不等式[g（c）-g（b）≤M（c2-b2）]成立.
當[c>|b|]時，[c2>b2]，不等式可化為[g（c）-g（b）c2-b2≤M]，
因此需求[g（c）-g（b）c2-b2]的最大值或者它的值域，
[g（c）-g（b）c2-b2]=[c+2bc+b]=2-[cc+b]=2-[1bc+1]，
而[c
因此[g（c）-g（b）c2-b2]的最大值為[32]，故M的最小值為[32].
點撥 不等式恒成立求參數取值范圍問題經常采用下面兩種辦法.一是分離參數求最值，即要使[a≥g（x）]恒成立，只需[a≥g（x）max]，要使[a≤g（x）]恒成立，只需[a≤g（x）min]，從而轉化為求函數的最值問題.二是當參數不容易分離時，可以直接求函數的最值，建立關于參數的不等式求解，這是通法.例如：要使不等式[f（x）≥0]恒成立，可以求得[f（x）]的最小值[h（a）]，令[h（a）≥0]即可求出a的范圍.
3. 利用導數研究函數的零點或不等式的解集或方程的根
此類問題綜合性比較強，通常要構造函數，把問題等價轉化為函數問題，研究函數的單調性、極值、最值，作出函數的草圖，數形結合.
例3 已知函數[f（x）]是[（0，+∞）]上的可導函數，若[xf ′（x）>f（x）]在[x>0]時恒成立.
（1）求證：函數[g（x）=f（x）x]在[（0，+∞）]上是增函數；
（2）求證：當[x1>0，x2>0]時，有[f（x1+x2）>f（x1）+f（x2）].
解析 （1）由[g（x）=f（x）x]得，[g ′（x）=xf ′（x）-f（x）x2].
因為[xf ′（x）>f（x）]，
所以[g′（x）>0]在[x>0]時恒成立，
所以函數[g（x）=f（x）x]在[（0，+∞）]上是增函數.
（2）由（1）知函數[g（x）=f（x）x]在[（0，+∞）]上是增函數，
所以當[x1>0，x2>0]時，
有[f（x1+x2）x1+x2>f（x1）x1]，[f（x1+x2）x1+x2>][f（x2）x2]成立.
從而[f（x1）
兩式相加得[f（x1+x2）>f（x1）+f（x2）].
備考指南
1. 回歸課本，重視對基本函數與導數定義、圖象、運算與性質的復習.對于函數與導數知識的考查，試題多數圍繞函數與導數的概念、圖象、運算、性質等方面命題，圍繞二次函數、三次函數、分段函數、指數函數、對數函數等幾個基本的初等函數來設計，考查函數的單調性、奇偶性、周期性和對稱性，考查導數的幾何意義、導數的基本運算等.所以，我們對函數與導數部分的復習，一定要回歸課本，重讀教材，只有把課本中的例、習題弄明白，夯實基礎，才能真正掌握、靈活運用，達到事半功倍的效果.
2. 加強對函數應用意識的培養和訓練.高考加大了對函數應用性問題的考查力度，試題貼近生產、生活，情境具有公平性，難度適當，設問新穎靈活，而解決這類問題所涉及的數學知識、數學思想和方法又都是高中數學《數學大綱》和《課程標準》上要求掌握的概念、公式、定理等基礎知識和方法，體現了新課程中“發展考生的數學應用意識”.所以，在備考復習中，我們一定要加強對函數應用意識的培養和訓練，對試題所提供的信息資料進行觀察、閱讀、歸納、整理和分析，并與熟悉的函數模型相比較，先確定函數的種類，再利用相關的函數知識將實際問題轉化成數學問題解決，最后對實際問題進行總結作答.
3. 理解函數與導數在其他數學知識中的滲透與整合.高考試題既重視考查數學基礎知識和基本技能，又能夠考查考生繼續學習所必需具備的數學素養和潛能.函數與導數作為高中數學的核心內容，常常與其它知識結合起來，形成層次豐富的各類綜合題，成為高考試卷中的把關題和壓軸題，為考生提供了一個能力競爭的平臺.因此，在備考復習中，一定要把基本的初等函數知識與三角、數列、不等式、方程等知識交叉和融合，還要滲透到解析幾何、立體幾何問題中，充分認識和利用導數的工具性作用，構建知識網絡，全面提高解決綜合性問題的能力.
限時訓練
1. 已知函數[f（x）=（3a2-2a）?2x]在定義域內單調遞減，[f ′（x）]是函數[f（x）]的導數，且[f ′（0）=ln4]，則a的值為 （ ）
A. [-12] B. 2
C. [-12]或2 D. 不存在
2. 函數y=f（x）在區間[a，b]上的最大值是M，最小值是m，若M=m，則f′（x） （ ）
A. 等于0 B. 大于0
C. 小于0 D. 以上都有可能
3. 設函數[f（x）=x-ax-1]，集合M=[{x|f（x）0}]，若M?P，則實數a的取值范圍是 （ ）
A. （-∞，1） B. （0，1）
C. （1，+∞） D. [1，+∞）
4. 已知函數y=-x2-2x+3在[a，2]上的最大值為[154]，則a等于（ ）
A. -[32] B. [12]
C. - [12] D. [12]或-[32]
5. 設函數fn（x）=n2x2（1-x）n（n為正整數），則fn（x）在[0，1]上的最大值為 （ ）
A. 0 B. 1
C. [（1-22+n）n] D. [4（nn+2）n+1]
6. 已知函數[f（x）=x3+ax2+bx+c]，下列結論中錯誤的是 （ ）
A. [?x0∈R]，[f（x0）=0]
B. 函數[y=f（x）]的圖象是中心對稱圖形
C. 若[x0]是[f（x）]的極小值點，則[f（x）]在區間（[-∞]，[x0]）上單調遞減
D. 若[x0]是[f（x）]的極值點，則[f ′（x0）=0]
7. 若函數f（x）=x3-12x在區間（k-1，k+1）上不是單調函數，則實數k的取值范圍是 （ ）
A. k≤-3或-1≤k≤1或k≥3
B. -3
C. -2
D. 不存在這樣的實數
8. 對任意的x∈R，函數f（x）=x3+ax2+7ax不存在極值點的充要條件是（ ）
A. 0≤a≤21 B. a=0或a=7
C. a21 D. a=0或a=21
9. 設f（x），g（x）分別是定義在R上的奇函數和偶函數，當x0，且g（-3）=0，則不等式f（x）g（x）
A. （-3，0）∪（3，+∞） B. （-3，0）∪（0，3）
C. （-∞，-3）∪（3，+∞） D. （-∞，-3）∪（0，3）
10.設函數[fx滿足x2f ′x+2xfx=exx，f2=e28，][則x>0時，fx] （ ）
A. 有極大值，無極小值
B. 有極小值，無極大值
C. 既有極大值又有極小值
D. 既無極大值也無極小值
11. 函數f（x）=5-36x+3x2+4x3在區間[-2，+∞）上的最大值 ，最小值為 .
12. 函數f（x）的定義域為R，f（-1）=2，對任意x∈R，f′（x）>2，則f（x）>2x+4的解集為 .
13. 已知方程ex-2x+a=0有零點，則a的取值范圍是 .
14.在平面直角坐標系[xOy]中，已知點P是函數[f（x）=ex（x>0）]的圖象上的動點，該圖象在P處的切線l交y軸于點M，過點P作l的垂線交y軸于點N，設線段MN的中點的縱坐標為t，則t的最大值是 .
15. 設函數f（x）=ln（2x+3）+x2.求f（x）在區間[-34，14]上的最大值和最小值.
16. 設f（x）=2x3+ax2+bx+1的導數為f′（x），若函數y=f′（x）的圖象關于直線[x=-12]對稱，且f′（1）=0.
（1）求實數a，b的值；
（2）求函數f（x）的極值.
17.對于三次函數[f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）]，定義：設[f ″（x）]是函數[y=f（x）]的導函數[y=f ′（x）]的導數，若[f ″（x）=0]有實數解[x0]，則稱點（[x0]，[f（x0）]）為函數[y=f（x）]的“拐點”.現已知[f（x）=x3-3x2+2x-2]，請解答下列問題：
（1）求函數[f（x）]的“拐點”A的坐標；
（2）求證[f（x）]的圖象關于“拐點”A對稱；并寫出對于任意的三次函數都成立的有關“拐點”的一個結論（此結論不要求證明）.
18. 已知函數[f（x）=xlnx].
一、函數關系式與定義域
函數關系式包括定義域和對應法則，所以在求函數的關系式時必須要考慮所求函數關系式的定義域，否則所求函數關系式可能是錯誤的。
例1：某單位計劃建筑-矩形圍墻，現有材料可筑墻的總長度為100m，求矩形的面積S與矩形長x的函數關系式?
解：設矩形的長為x米，則寬為(50一x)米，由題意得：
S=x(50-x)故函數關系式為：S=x(50-x)．
如果解題到此為止，則本題的函數關系式還欠完整，缺少自變量x的范圍。也就說學生的解題思路不夠嚴密。因為當自變量x取負數或不小于50的數時，S的值是負數，即矩形的面積為負數，這與實際問題相矛盾，所以還應補上自變量x的范圍：o
即：函數關系式為：S=x(50-x)(0
在用函數方法解決實際問題時，必須要注意到函數定義域的取值范圍對實際問題的影響。若考慮不到這-點，就體現出學生思維缺乏嚴密性。若注意到定義域的變化，就說明學生的解題思維過程體現出較好思維的嚴密性。
二、 函數最值與定義域
函數的最值是指函數在給定的定義域區間上能否取到最大(小)值的問題。如果不注意定義域，將會導致最值的錯誤。如：
例2：求函數y=x2 -2x-3在[一2，5]上的最值．
解：•．•y=x2 -2x-3=(x2 -2x+1)-4=(x-1)2 -4
．•．當x=1時，ymin = -4
初看結論，本題似乎沒有最大值，只有最小值。產生這種錯誤的根源在于學生是按照求二次函數最值的思路，而沒有注意到已知條件發生變化。
這是思維呆板性的一種表現，也說明學生思維缺乏靈活性。
其實以上結論只是對二次函數y=ax2 十bx+c(a>0)在R上適用，而在指定的定義域區間[p，q]上，它的最值應分如下情況：
(1)當-
(2) 當- >p時，f (x)在[p，q]上單調遞減函數 f(x)max= f(p),f(x)min=f(q)
(3)當p ≤-≤q時，y=f (x)在[p，q]上最值情況是：f(x)min =f(-)=f(x)max=max{f(p)，f(q) }．即最大值是f(p)，f(q)中最大的一個值。
故本題還要繼續做下去：
一2≤1≤5
f(-2)=(-2)2 -2×(-2)-3=-3
f(5)=52 一2×5-3=12
f(x)max=max{f(-2)，f(5)}=f(5)=12
函數y=x2 -2x-3在[一2，5]上的最小值是-4，最大值是12．
在函數定義域受到限制時，若能注意定義域的取值范圍對函數最值的影響，并在解題過程中加以注意，便體現出學生思維的靈活性。
三、 函數值域與定義域
函數的值域是該函數全體函數值的集合，當定義域和對應法則確定，函數值也隨之而定。因此在求函數值域時，應注意函數定義域。
例3：求函數y=4x-5+ 的值域．
錯解：令t=,則2x=t2+3
y=2(t2+3)-5+t=2t2+t+1=2(t+)2 +≥
剖析：經換元后，應有t≥o，而函數y=2t2+t+1在[0，+∞)上是增函數，所以當t=0時， ymin =1．
故所求的函數值域是[1，+∞)
利用換元法求值域和最值時，必須注意換元后要轉化變量的范圍，避免以上錯誤結果的產生。
