發布時間：2022-12-15 10:22:51
序言：寫作是分享個人見解和探索未知領域的橋梁，我們為您精選了8篇的初中數學學術論文樣本，期待這些樣本能夠為您提供豐富的參考和啟發，請盡情閱讀。
培優扶困是初中數學教學工作中的一個重要環節，是使數學教學適應學生個別差異、貫徹因材施教原則的一個重要措施，它是上課的一種補充形式，但又不是上課的繼續和簡單的重復；培優就是對學有余力的、學習成績比較突出或有數學天賦和潛質的學生，通過有目的、有計劃、有組織的輔導和培訓，使他們的學業成績更加優秀、專長得到進一步的發展，成為具有創新能力的新一代人才；扶困就是對學習數學有困難且學習成績和學習能力偏差或個人身心、品德、行為較差的學生通過有目的、有計劃、有組織的輔導和幫助，使他們能夠身心健康，學習成績不斷進步，激發他們的學習興趣，提高他們的學習能力，逐步養成較好的生活和行為習慣。通過培優扶困，我不僅可以鞏固和提高學生在課堂上所學知識，及時發現和培養有數學天賦和潛質的學生；同時通過培優扶困，我還從多種渠道獲得了各類學生的反饋信息，及時發現、反饋教育和教學中優勢與不足，并及時不斷地加以改進、不斷地提高，這對于自身的數學教育和教學起到了很好的促進作用，對我的教學水平的提高也是一副很好的催化劑。
2．和諧、融洽的師生關系，是做好培優扶困工作的劑
數學教學工作是一種多層次、多因素的比較復雜的工作。雖然它與相鄰學科的教學工作有許多共同之處，但數學教學還具有自己獨特的教學規律和理論體系。因此，開學初，我根據所教兩個班級的學生數學成績及思想表現情況，精心選擇確定好培優扶困的對象，并制定出具體的培優扶困計劃和措施。
我積極主動地做好思想方面的培扶教育，我十分注重與學生交朋友，深入細致地了解和關心他們的學習與生活，洞察學生的生理、心理，尤其是思想上的變化及波動情況，及時幫助他們解決學習上的困難和成長過程中產生的一些困惑，抑制了學生思想上的一些不良觀念；讓他們從內心中感覺到老師一直像自己的親生父母在一樣關心和愛護著他們，從而從心理上接受、信任和佩服我，時時刻刻、事事處處，都按照學校的要求去做，學習上變被動為主動，認真學好各門文化科學知識，成為社會所需要的有用人才；特別是學困生，他們對學習缺乏興趣，對自己缺乏信心，因此我經常利用課外時間與他們談心，關愛他們的身心健康、關注他們的健康成長，想盡一切辦法激發他們的學習積極性；充分挖掘他們身上的閃光點，一有進步就對他們進行表揚、鼓勵和鞭策，盡可能地讓他們在集體活動(如班會、義務勞動、校運會等等)中大顯身手，充分表現自己，發揮他們自身的優勢和潛能，讓他們在同學之間找回屬于自己的那份自信；同時我深入細致地了解每一個學困生、做好學情分析，對學困的不同原因，采取多樣的轉化策略，協助他們共同分析、查找落后的原因，然后對癥下藥，幫助他們克服心理障礙，樹立戰勝困難的自信心，再根據具體情況幫助他們把比較差的功課補上去，并認真做好課后的思想溝通及跟蹤輔導工作；鼓勵他們鼓起勇氣，笑著面對人生，找準人生的目標，實踐表明，建立和諧、融洽的師生關系，對于做好培優扶困工作起著劑和催化劑的作用。
習熱情和積極性，增強了他們學好數學的勇氣和力量。
3．將培優扶困滲透于課外輔導及作業批改之中
學生的素質是有差異的，對數學知識的理解和掌握程度也是參差不齊的，因此我在課外輔導中貫徹因材施教的原則，有的放矢，對于數學成績較好的學生，通過個別輔導，強化他們對數學的興趣與愛好；課外作業，鼓勵他們一題多解，尋求最佳解題途徑，償試寫出解題心得體會；對于數學有特長的學生，有目的、有計劃地培養他們的邏輯思維能力和數學理解能力，指導他們多看課外書籍，多答辯一些競賽題，以拓廣他們的知識視野。
分層教學是指根據學生的基礎知識的扎實程度和學習快慢程度，對學生進行優良差三個層次的分類，再針對這三個層次中各個層次學生的實際情況進行教學，達到實現因材施教、培育人才的目的．學生的學習能力有差異，基礎知識有差異，這些客觀存在的事實是實施分層教學的動因．對于分層教學，有些家長、學生表示不理解，認為對學生的優劣分檔會打擊學生的自尊心，進而影響學生學習的積極性，這種情況是可能發生的，但為什么還要實施分層教學呢?這是因為分層教學能夠提高教學質量，而且對學生的分層次問題，只要教師做好合理的引導，就可以避免因為分層所導致的后果．告訴學生與家長，實施分層教學的目的是為了對學生進行因材施教，為了對他們進行更加合理的教學計劃，這對于學生學習成績的提高十分有效．讓學生和家長了解到，分層教學的初衷是為了幫助學生提高成績，讓學生在提高成績的過程中不斷地縮短與曾經優于他們的學生的差距，最終實現共同進步的目的．此外，為了提高學生的初中數學學習能力，分層教學是必須要進行的．在傳統的教學中，對所有的學生進行同一層次的教學，由于各個層次學生的實際情況不一樣，有的學生的學習進度趕不上，而有的學生的學習卻是學有余力而不知該不該跟著進度來．這樣一來，由于學生層次的不一導致，教師在教學過程中不可能照顧到各個層次的學生，只能盡量地走中間路線，就使跟不上進度的學生跟其他學生的差距越來越大，而超前進度的學生又被教學進度所拖累，教學成果不佳，導致學生的學習成績兩極分化．為了最大程度地提高教學效果，教師要在初中數學教學中實施分層教學，因材施教，盡量使每個學生都能得到提高，從而把學生培養成才．
二、初中數學教學中實施分層教學的策略
要實施分層教學，首先要做好實施分層教學的思想引導工作，不能讓初衷是為了提高學生成績而實施的良好的教學方法反而淪為打擊學生自尊心、打擊學生學習積極性的錯誤手段．因次，在實施分層教學之前，要先對學生和家長進行思想教育開導工作，告訴他們，實施分層教學，對學生進行優良分類的目的，是為了對學生進行適合他們學習進度的教學，是為了提高學生的學習成績，在分層教學下學生的能力都會得到提高，會使學生之間的成績差距越來越小，讓所有人都成為優秀學生，畢竟初中數學的教學內容就那些知識，早學會，晚學會，在分層教學下學生都會學會，而且學生會學得更扎實，這樣學生會切切實實把初中數學學好，最終的效果是學生由最初的分層變為學生在同一層次上的優秀．這樣，讓學生意識到實施分層教學的優勢與目的，讓學生在無思想負擔的情況下好好學習，天天向上．其次，教師要把學生根據知識的扎實程度和學習的能力強弱進行優良差三個層次的分類，然后根據學生的實際情況提出不同的要求和進行不同程度的知識教學．比如，就二元一次方程組而言，對于優層次的學生，他們的知識扎實，學習能力強，對他們就要求高一些，不僅要會課本上的解法，還要有自己的見解，能夠對題型歸類，達到一題通、百題會的程度．對于良好層次的學生，要求他們會解題，多思考，多練習，達到對這一類型題目的掌握．對于差層次的學生，則要求他們學會課本上的方法，務實基礎，能夠熟練掌握課本方法，最終達到熟練運用即可．如此對于學生按能力水平分層次進行教學和要求，實現學生再遇到二元一次方程組的題目時，無論是用課本的方法，還是用自己的方法，不管是簡單方法，還是復雜方法，最終學生都會解二元一次方程組，達到殊途同歸．這就是分層教學的實際應用．
三、總結
一、初中數學教學中實施分層教
學的必要性分層教學是指根據學生的基礎知識的扎實程度和學習快慢程度，對學生進行優良差三個層次的分類，再針對這三個層次中各個層次學生的實際情況進行教學，達到實現因材施教、培育人才的目的。學生的學習能力有差異，基礎知識有差異，這些客觀存在的事實是實施分層教學的動因。對于分層教學，有些家長、學生表示不理解，認為對學生的優劣分檔會打擊學生的自尊心，進而影響學生學習的積極性，這種情況是可能發生的，但為什么還要實施分層教學呢?這是因為分層教學能夠提高教學質量，而且對學生的分層次問題，只要教師做好合理的引導，就可以避免因為分層所導致的后果。告訴學生與家長，實施分層教學的目的是為了對學生進行因材施教，為了對他們進行更加合理的教學計劃，這對于學生學習成績的提高十分有效。讓學生和家長了解到，分層教學的初衷是為了幫助學生提高成績，讓學生在提高成績的過程中不斷地縮短與曾經優于他們的學生的差距，最終實現共同進步的目的。此外，為了提高學生的初中數學學習能力，分層教學是必須要進行的。在傳統的教學中，對所有的學生進行同一層次的教學，由于各個層次學生的實際情況不一樣，有的學生的學習進度趕不上，而有的學生的學習卻是學有余力而不知該不該跟著進度來。這樣一來，由于學生層次的不一導致，教師在教學過程中不可能照顧到各個層次的學生，只能盡量地走中間路線，就使跟不上進度的學生跟其他學生的差距越來越大，而超前進度的學生又被教學進度所拖累，教學成果不佳，導致學生的學習成績兩極分化。為了最大程度地提高教學效果，教師要在初中數學教學中實施分層教學，因材施教，盡量使每個學生都能得到提高，從而把學生培養成才。
二、初中數學教學中實施分層教學的策略
要實施分層教學，首先要做好實施分層教學的思想引導工作，不能讓初衷是為了提高學生成績而實施的良好的教學方法反而淪為打擊學生自尊心、打擊學生學習積極性的錯誤手段。因次，在實施分層教學之前，要先對學生和家長進行思想教育開導工作，告訴他們，實施分層教學，對學生進行優良分類的目的，是為了對學生進行適合他們學習進度的教學，是為了提高學生的學習成績，在分層教學下學生的能力都會得到提高，會使學生之間的成績差距越來越小，讓所有人都成為優秀學生，畢竟初中數學的教學內容就那些知識，早學會，晚學會，在分層教學下學生都會學會，而且學生會學得更扎實，這樣學生會切切實實把初中數學學好，最終的效果是學生由最初的分層變為學生在同一層次上的優秀。這樣，讓學生意識到實施分層教學的優勢與目的，讓學生在無思想負擔的情況下好好學習，天天向上。其次，教師要把學生根據知識的扎實程度和學習的能力強弱進行優良差三個層次的分類，然后根據學生的實際情況提出不同的要求和進行不同程度的知識教學。比如，就二元一次方程組而言，對于優層次的學生，他們的知識扎實，學習能力強，對他們就要求高一些，不僅要會課本上的解法，還要有自己的見解，能夠對題型歸類，達到一題通、百題會的程度。對于良好層次的學生，要求他們會解題，多思考，多練習，達到對這一類型題目的掌握。對于差層次的學生，則要求他們學會課本上的方法，務實基礎，能夠熟練掌握課本方法，最終達到熟練運用即可。如此對于學生按能力水平分層次進行教學和要求，實現學生再遇到二元一次方程組的題目時，無論是用課本的方法，還是用自己的方法，不管是簡單方法，還是復雜方法，最終學生都會解二元一次方程組，達到殊途同歸。這就是分層教學的實際應用?？傊?，對于初中數學教學的改革，無論怎么改都是為了更好地培養學生的學習能力，促進學生全面發展。在初中數學教學中實施分層教學，因材施教，進而達到殊途同歸，最終無層次的目的，從而提高初中數學教學質量，為國家培養出合格的人才。
作者：羅洪毅 單位：貴州遵義市新蒲新區永樂中學
摘 要：初中數學和小學數學相比，無論是在教材內容上，還是在教學方式上，都有著較大的差異，初中笛Ф匝生的認知能力也有了更高的要求。為了保證學生高效地學習數學知識，初中數學老師要幫助學生做好小學數學到初中數學學習的過渡，這對學生的未來發展起到了重要的作用。
關鍵詞：小學數學；初中數學；銜接問題
目前小學數學和初中數學在銜接方面還存在較多的問題，導致很多小學畢業生進入初中后數學學習成績和學習興趣都在不斷下降，不能有效適應初中的數學學習環境。對此，筆者分析了初中數學和小學數學的異同之處，并在此基礎上對如何做好中小學數學有效銜接展開了詳細的論述。
一、初中數學和小學數學的異同點
與小學數學相比，初中數學的學習要求更高，小學數學的學習內容大多比較具體，如數的運算、圖形的認知等，這些內容的難度較小，而初中數學的內容較為抽象，涉及的內容也比較多，如數的運算，不再是簡單的整數運算，而是有理數的運算，還涉及函數和方程的學習，這對學生來說，有著更多的學習困難。除此之外，數學的教學內容也有較大的變化，隨著新課標的全面實施，小學數學內容在一定程度上有較大的壓縮，而初中數學內容則相反，有了較大的拓展，這也就意味著小學畢業生進入初中，跨度比以往更大，學習難度也有了一定程度的增加。
二、如何做好小學和初中數學的銜接
（一）學習方法的銜接
良好的學習方法是幫助學生取得事半功倍學習效果的前提，初中的數學老師應當認識到這一點。小學生的認知能力較弱，學習上多為被動，需要老師一步一步去引導，初中則不一樣，老師應當指導學生由被動逐漸轉變為主動，改變學生的學習態度，從“要我學”變成“我要學”，因此，筆者建議，初中的數學老師可以從以下三個方面著手培養學生的學習習慣和學習方法：（1）培養學生課前預習的習慣。學生是教學活動中的主體，因此，數學老師在教學過程中應當突出學生的主體地位。課前預習則是學生主動學習的一個重要部分，數學老師可以布置前置性作業，讓學生帶著問題對教材進行研究，數學老師在課堂開始環節，可以鼓勵學生將預習中遇到的不懂問題當堂提出來，老師再進行歸納總結，在課堂教學過程中，可以對學生不明白的地方進行重點講述。培養學生課前預習的習慣和方法，不僅能夠提高學生的學習主動性，還能讓學生在課堂上集中注意力，做到有的放矢去聽講，這樣也就提高了課堂的聽課效率。（2）培養學生良好傾聽和做筆記的習慣。小學生的自制能力差，在課堂上聽課效率也普遍不高，很多剛剛進入初中的學生一時也沒有改變過來，在課堂上聽課還是存在較多的“分心”狀況，老師雖然上課用心去講，但是學生沒有用心去聽，這樣就會導致學生的聽課效率較低，因此，數學老師要培養學生良好的聽課習慣，讓學生能夠耐心聽課，基于此，數學老師可以在講課的過程中適當提出一些問題，這樣不僅可以促使學生認真聽課，還會促使學生動腦。除此之外，數學老師還要鼓勵學生在課堂上做筆記，好記性不如爛筆頭，很多知識點學生在課堂上聽懂了，但是課下難免又會忘記。培養學生邊聽課邊做筆記的習慣，不僅可以集中學生的注意力，還會給學生提供學習的第二教材，筆記可以成為學生考前復習資料以及課后復習資料，起到有效提高學生學習效率的作用。（3）培養學生總結歸納的學習方法。數學老師可以設計分層作業，讓每一個學生在課下都能帶著問題對新學習到的知識點查缺補漏，培養學生總結歸納的學習習慣，課后作業是課堂知識的延伸，可以加深學生的記憶，并對學到的知識進行鞏固，能夠有效促進學生掌握新知識點，提高學生的學習效率。
（二）教學內容的銜接
初中的數學老師除了培養學生良好的學習習慣和學習方法外，還要做好教學內容的銜接工作。與初中的數學內容相比，小學數學相對簡單一些，小學數學主要學習一些簡單的運算以及對一些圖形進行簡單的認知，而初中數學則要復雜一些，無論是運算方面還是圖形的認知方面都有了更高的要求。因此，數學老師在教學內容上，要做好有效的過渡，盡可能挖掘新知識點與舊知識點之間的共同點，并對此加以利用，例如，在學習“正數和負數”這一節內容的時候，數學老師可以引入小學學習的“大小比較”這一節內容，通過指導學生比較溫度、長度等內容，引入正數和負數的概念，讓學生在小學的“感性認識”上獲得更多的“理性認識”，指導學生認識新知識的本質問題，學會比較、對照，尋找學習方法，在新知識與舊知識點之間建立等量關系，從而達到順利過渡的目的。
綜上所述，重視小學數學和初中數學的銜接問題，能夠幫助小學畢業生順利過渡到初中，快速適應初中的數學學習環境。因此，數學老師應當對此加以重視，對中小學的數學銜接問題進行不斷探索和研究，為學生鋪平道路，幫助學生更好地實現中小學數學之間的過渡，促使學生全面健康、持續發展。
參考文獻：
[1]徐玉梅.芻議初中數學與小學數學的有效銜接[J].知識窗（教師版），2016（8）：8-11.
數學內容與生活生產聯系緊密．也可以說，數學是從生活中來，并不斷發展推動社會的進步的．在數學教學中，教師要善于利用數學特點為學生創設問題情境，調動學生的學習積極性，使學生快樂學習數學．為學生創設問題情境，單靠教師的一張嘴是不夠的，而多媒體計算機技術具有圖文并茂、生動形象的特點，能夠為教學創設豐富的情境，教師要利用信息技術的這種優勢，促進教學的發展．例如，在講“三角形中位線的性質定理”時，教師可以利用信息技術手段，為學生創設問題情境，使學生有效學習其中的難點內容．如，在證明“順次連接四邊形四邊中點所得到四邊形為平行四邊形”這個命題時，教師可以利用幾何畫板進行現場演示，為學生展示不同的四邊形，進行相關操作，使學生直觀上看到得到的四邊形就是平行四邊形．在教師進行演示之后，可以具體某一個四邊形，利用幾何畫板再次進行現場演示，引導學生觀察在拖著四邊形一個頂點在平面內緩慢移動的過程中，四邊形的形狀與對角線的變化的關系，教師可以利用幾何畫板的測算長度及角度的功能測出兩條對角線的長度關系、兩對角線夾角度數對于四邊形形狀的影響．在情境展示后，教師要鼓勵學生根據理解證明此觀點(略)．
二、利用信息技術手段，進行現場演示
在數學教學中，許多知識的抽象性是很強的，因此，利用信息技術手段把抽象的內容演示給學生，可以促進學生理解相關內容，提高教學效率．教師要把教學內容與信息技術手段進行整合，利用計算機將教學內容加工成文字、圖形、影像資料，通過生動的演示，促使學生主動學習．例如，在講“等腰三角形”時，對于等腰三角形三線合一的理解，抽象性很強，學生理解起來有難度，如果教師利用計算機和幾何畫板中的軟件，在大屏幕中作斜三角形ABC及其角A的平分線、BC邊的垂直平分線和中線，之后用鼠標在屏幕上隨意拖動點A，利用軟件功能，此時ABC和“三線”在保持依存關系的前提下隨之發生變化．在移動的過程中，學生會直觀地發現存在這樣的點A，使得角平分線、垂直平分線和中線三線重合．這樣，利用信息技術進行演示，學生能夠理解有關概念．同時，在演示過程中，學生進一步探究的欲望也被調動起來，教學效果顯著．
三、利用信息技術手段，豐富課堂內容
（一）做好試卷講評前的教學準備
1.細致地做一遍試卷
做好講評教案講評試卷之前，我們應該自己先做一遍試卷，了解一些試卷里考查的內容，每一道題難度有多大，考查的是哪個知識點，有可能出現什么樣的錯誤，得分率會有多少等，只有了解了這些，才能在講評時更為順利，也才能更有說服力。此外，要寫好講評教案，要對閱卷過程中收集到的素材進行整理分析，從中抽出具有普遍意義的典型問題進行講評。哪些該粗講，哪些該細講，心中要有數；對考題設計要進行分析，看學生是否達到要求，同時還要指出可能的變化方向，讓學生心中有數。換句話說，教師閱卷時不是簡單地打“勾”“叉”，要把學生的錯誤記錄下來并加以統計。另外，對于主觀題，還可在試卷上寫下批語，如“題目沒有讀懂”“沒有抓住等量關系”“材料有效信息未提取完”等，而整體上的分析可制定成績分析統計圖和各題得分情況統計表。
2.要求學生做好試卷的自我診斷與分析
講評前并不只是教師需要做出努力，學生也需要有所準備。在講評課之前，我們要把試卷發給學生，讓學生對試卷中出現的錯誤進行糾正，不僅要再做一遍，得出正確的解答，還要進行反思，把當時自己做錯的原因寫下來，究竟是不認真，還是知識點掌握不足，同時還要簡單總結經驗，以后遇到這樣的問題應該怎樣，進行自我診斷與分析，以便在聽講評時有所側重。
（二）講評時要注重知識的條理性、系統化
每一張試卷都會有十幾道甚至幾十道題目，如果按照題號進行講解，雖然比較清晰，但是效果不會很好。而如果我們把試卷中的題目進行分類，一種問題為一類，就會很有條理性，有利于學生產生一種系統化的認知，形成知識體系。我認為，我們可以將試卷中的題目按照三種方式來歸類。
1.按知識點歸類這是最簡單的分類方法
我們可以把試卷上同一知識點的題歸在一起進行分析、講評，這種歸類可讓學生在教師指導下進行，教師可選擇重點知識的典型題目進行分析、講評。
2.按解題方法歸類
即把試卷中涉及同一解題方法、技巧的題目，歸到一起進行分析，如把一份綜合測試卷分為：（1）一題多解；（2）多題一解；（3）用方程思想解題；（4）用函數思想解題。
3.按答卷中出現的錯誤類型進行歸類
一般可分為五種類型：（1）對概念理解不透甚至錯誤；（2）讀題時對題中的關鍵字、詞、句的理解有誤；（3）思維定勢的負遷移；（4）數學模型建立失當；（5）運算錯誤。以上幾種歸類方法是相互聯系的。通過歸類練習，學生就會逐漸養成獨立思考的習慣，避免“題海戰術”，從而達到高效。
（三）做好試卷講評的后續工作
試卷講評完了是不是就等于結束了？當然不是。如果我們講評完試卷后就將它丟到一邊，相信不超過一周，學生就會忘得一干二凈。所以在講評以后還需要做好后續工作。那么，應該做哪些后續工作呢？首先，教師應要求學生把錯誤的題目抄寫到錯題集中，寫上錯誤的原因和正確的解題步驟；其次，教師應要求學生把一些獨特的解題思路以周記的形式記錄下來，以便掌握不同的解題思路；再次，教師要設計一些易錯點的練習題，在講評后當作家庭作業布置給學生，要求學生進行練習。
二、結語
勾股定理是初中數學中非常重要的一個定理[1]。它很好地解釋了直角三角形中三條邊之間的數量關系，對于幾何學當中有關直角三角形的計算機證明問題，利用勾股定理往往能夠迎刃而解，使學生快速掌握解決方法。同時，在日常生活及工作當中，勾股定理的應用也非常廣泛。因此，在初中數學教學過程中，充分利用好勾股定理這一有效手段進行解題顯得尤為重要。筆者結合多年的教學經驗，利用勾股定理，對初中數學當中的“線段求長問題”、“求角問題”、“證明垂直問題”及“實際問題”進行了分析與探究，希望以此能夠為初中數學教學提供有效依據。
2勾股定理在線段問題中的應用
在初中數學中，一些“線段求長”問題使用常規方面解決常表現的較為棘手，而使用勾股定理往往能夠得以有效解決。例題1：如圖1，在三角形ABC中，已知：∠ABC＝90°，AB＝BC，三角形的三個頂點分別位于相互平行的三條直接l1、l2、l3上，并且l1與l2之間的距離為2，l2,與l3之間的距離為3，求AC的長度。解：過A作l3的垂線交l3于D，過C作l3的垂線交l3于E，由已知條件：∠ABC＝90°，AB＝BC，得：RtABD與RtBEC全等；所以，AD＝BE＝3，DB＝CE＝5；進而得：AB2＝BC2＝32＋52＝9＋25＝34；在直角三角形ABC中，AC2＝AB2＋BC2＝68，所以：AC=217姨
3勾股定理在求角問題中的應用
在初中數學當中，有些求角問題使用常規方法難以解決，而使用勾股定理則能夠很快地解決。因此，將在求角問題中充分應用勾股定理便有著實質性的作用[2]。例題2：如圖2，在等邊ABC中，有一點P，已知PA、PB、PC分別等于3、4、5，試問∠APB等于多少度？解：把APC繞著點A旋轉，旋轉至ABQ，讓AB和AC能夠重合；此時，AP＝AQ＝3，BQ＝PC＝5，，∠PAQ＝∠BAC＝60°；所以，PAQ是等邊三角形；所以，PQ＝3；在三角形PBQ當中，PB、BQ分別等于4、5，所以，三角形PBQ是直角三角形，其中∠BPQ＝90°；所以，∠APB＝∠BPQ＋∠APQ＝90°+60°＝150°。
4勾股定理在證明垂直問題中的應用
在初中數學當中，一些證明垂直的問題如果利用勾股定理進行求解，那么將能夠達到事半功倍的效果。下面筆者結合有關證明垂直問題的題型展開討論。例題3：如圖3所示，已知AB＝4，BC＝12，CD＝13，DA＝3，ABAD，證明：BCBD[3]。證明：由已知條件ABAD可知，在三角形ABD中，∠BAD＝90°；因為AD、AB分別為3、4，由勾股定理可知：BD2＝AB2＋AD2＝32＋42，求得：BD＝5，又因為BD2＋BC2＝52＋122＝132＝CD2；因此，三角形DBC為直角三角形，其中∠CBD＝90°；所以，BCBD。
5勾股定理在實際問題中的應用
對于勾股定理，還能夠解決實際問題，并且這些實際問題都是在日常生活中可以看到的。例題4：一棵小樹高為4米，現有小鳥A停留在樹梢上，此時小鳥B停留在高20米的一棵大樹樹梢上發出友好的叫聲，已知大樹與小樹的距離為12米，如果小鳥A以4m/s的速度飛往大樹樹梢，試問：小鳥A至少需要多長時間才能夠與小鳥B在一起？解：如圖4，根據題干的已知條件可知，AC＝16m，BC＝12m，由勾股定理得：AB2＝AC2＋BC2＝162＋122，求得AB＝20m；所以，小鳥A所需時間為20/4＝5秒。筆者認為，利用勾股定理解決實際問題，需要弄清題意，進而對題目中所涉及的直角三角形找出來，然后結合勾股定理進行求解[4]。在例題4中，最主要的步驟便是依照題意，結合勾股定理，然后畫出大樹與小樹之間的直角三角形，在充分利用已知條件的基礎上，便能夠使問題有效解決。
6結語
首先，由于好學生和差生存在著很大的差距，上課舉手的同學寥寥無幾。有的學生不敢舉手是對自己沒信心，怕自己回答錯，有的是不想舉手，看別人不舉自己也沒有什么必要舉手，這樣就造成了課堂上的冷場。學生的積極性調動不起來，學生也就越來越沒有學習的興趣。所以要調動課堂氣氛，調動學生的積極性，來引起學生的學習興趣。
其次，有時想組織討論來活躍課堂的氣氛，但許多學生根本沒有頭緒，不知從何討論起，而在那里進行著其他話題的討論。這樣一來，課堂上的學習氛圍就漸漸淡化，使得更多的學生不想學。所以課堂上要有效地組織出討論，才能使學生更加投入到課堂學習中。
再次，學生都有著競爭意識，總是想自己比別人強，不愿落在最后。如果能夠適當的引導，激發出學生自己的競爭意識，課堂上利用學生這種力爭上游的勁道，來調動起學習的積極性，課堂氣氛就活躍了，這樣讓學生能輕松地學到知識。無形中，也讓他們自己給了自己一種動力。
激發學生的學習興趣是實施課堂教學活動的重要一環。激發學生的學習興趣，實際上就是啟動他們自身的內驅力，使他們更積極，更主動的獲取知識。
現代素質教育提倡創新教育，實際上是說教師的教學方法要創新，學生的學習方法也要創新。創新教育的目的是培養學生的能力，最根本要培養學生探索知識的能力，學會自主學習的方法。同時，創新教學還要立足于學習本身，要符合學生認知規律，要符合學生的年齡特征。蘇霍姆林斯基說過：“在人的內心深處，都有一種根深蒂固的需要，這就是希望自己是一個發現者，研究者，探索者，而在兒童的精神世界中，這種需要特別強烈。”因此，我們認為，數學課堂教學要立足于學生的個性，年齡特點，興趣愛好，在這一立足點上研究探索出一些新的教學方法和方式，以培養學生主動探究的能力。
陶行知先生的“學教做合一”思想認為：學生的“學”和老師的“教”是統一的，都是以“做”為中心的，那么，學生的“學”和教師的“教”都是可以“做”的。結合課堂教學，可以從教師的教法，和學生的學發兩個方面去創新，以培養學生的自主學習，參與探究的能力。在教師方面，要努力創建有利于學生主動探索的數學學習環境，如創設情境，用充滿童趣的故事帶學生進入學習。在學生方面，采用新的學習方式------主動提問，質疑的方法，把學習的主動權交給學生，讓學生成為學習的主人。
一、從教師的“教”著手，創設愉悅的教學情境
情境教學強調為學生創設完整，真實的問題情境，以激勵學生的認知需要，鼓勵學生的主動學習，生成學習，體驗學習，完整的經歷從識別目標到提出和達到目標的認知全過程。因此，情境設計有助于學生很好地投入學習，教師設置有效的情境尤為重要。
1．創設故事情境，激發學生主動參與的積極性，寓學于樂。
“最好的學習動機是學生對所學內容產生濃厚的興趣?！币虼?，在學習新知識之前就要創設與教學內容有關的情境，以情境的創設、問題的解決為線索，激發學生的求知欲望和主動參與學習的動機，誘導學生把學生新知的壓力變為探索的能力使學生學習情緒達到最佳境界。例如：在教學“圓柱的體積”時，可以創設了這樣一個故事情境：幫自己設計一個圓柱體的紙箱用來存放物品，他又想把東西反復多一些，又想節省些用料，班級里的4個學生聽說后，都為自己設計了一個方案，到底誰的方案比較理想呢？是否表面積大，能放的東西就多呢？從而引出今天的課題：“圓柱的體積”。通過這樣一個生活化的情境，讓學生把注意力集中到了新課的內容上。通過新課的學習，最后共同選擇了最佳方案。以生活情境為主線，貫穿整個課堂教學，體現了課堂教學的整體性，又激發了學生學習的主動性，讓他們意識到學習是為生活服務的。學習了更多的知識，你就會有更大的本領去解決實際生活中的問題，激發了學習數學的興趣。
2．創設懸念情境，激發學生強烈的求知欲望，達到事半功倍的效果。
枯燥的概念，法則總是讓學生頭痛不已，背不出，記不住是最大的問題，往往教師的教總是有些給學生“灌”的感受。要避免這種“背誦式”教法，最好的方法是先提出學生的興致，激發他們的熱情。教師可以設置一些有趣的，帶有挑戰意味的，懸念式的情境，把他們的積極性充分調動起來。如：
在教學“一元二次方程根與系數的關系”時，老師先寫出一個一元二次方程“2X2-3X-4=0”，問學生這個方程有幾個實數解，經過計算后，學生回答：“有兩個。”接著老師讓每個學生自己任意準備一個一元二次方程，先自己計算一下有幾個實數解，然后來考考老師，每個同學報一個一元二次方程，看老師不用計算，能不能迅速判斷出哪些有兩個實數解，哪些只有一個實數解，哪些沒有實數解。這時，教室里氣氛十分活躍，大家似乎都想來考倒老師。但老師對學生所報的一元二次方程能快速準確地判斷出有怎樣的實數根，學生們感到十分驚訝和羨慕。接著，老師進一步質疑：“你們自己不用解方程，能準確地判斷出一元二次方程實數解的情況嗎？”學生們一個個搖搖頭，都被難住了。此時，掌握新知便成了學生們最大的愿望。學生有了強烈的求知欲望，這必然促使學生自覺地去完成既定的教學目標，使情、知交融達到最佳的狀態。
老師在教學中利用各種各樣的情境，為學生創造了更多的自主思考機會，激發了學生學習的內驅力，發展了學生的潛在能力，使學生在認識所學知識、理解所學知識的同時，智力水平不斷提高。在愉悅，和諧的教學氛圍中，激發學生學習的興趣，喚起學生學習的自覺性和創造性，讓學生愿學、善學、樂學。
二、從學生的“學”入手，鼓勵“質疑”
“學起于思，思起于疑”，“學貴有疑”，主動學習的核心是探究，探究活動始于提出問題，讓學生敢于提問和善于提問是培養學生探究能力的突破口。因此，在課堂教學中，可以讓學生嘗試提出一些問題，具體操作如下：
1、新知提問
一堂課，出現了一些概念，一些新知識。同時，學生的頭腦中總會有一些疑問，而這些疑問正是他們求知的目標和方向。通過這些問題可以把新知內化為自己的知識體系，或許他們頭腦中的這些問題也正是新課的教學目標，所以教師可以鼓勵他們提出對新概念，新知識的疑問。如：在教學“用尺規作圖時”時，在認識了圓規后，請學生對圓規這樣新物品提出自己想知道的問題，學生提出了：“圓規只能畫圓，怎樣來作圖？”“圓規怎樣量長度？”“圓規怎樣畫一個相同的角？”等一系列有價值的問題，這些問題正是新課所要解決的知識點。然后，教師和學生圍繞這一系列問題開展學習，討論，從而完成了新課的教學。又如教學“分解因式”，出示課題后，讓學生對這個題目提問，學生也提出了：“什么是分解因式？”“怎樣來分解因式？”“學習分解因式有什么用？”等有價值的問題，由此開展新課的學習。
2、操作提問
課堂中的操作并非是機械地動手，而是要在操作中通過動腦，思考，指導操作，所以在操作的過程中必然有問題產生，操作時產生的問題也可以讓學生提出來，讓大家一起思考，討論，解決，共同提高。如：在教學“幾何添輔助線證明時”時，出示一題需要添輔助線的證明題，學生問：“這題該怎么證明？”讓大家共同討論這一問題，在大家的七嘴八舌中，得出了“如果這有一條平行線”或“那有一條垂線就好了?！蓖ㄟ^這樣的問題就可引出怎樣添輔助線。在圖形里添上需要的“輔助線”這樣就能證明了。通過操作，提出問題，共同解決，學生對學習的自信油然而生，對解決問題的能力又有了提高。
以上所提兩點是實際操作時培養學生提問的良好習慣，但培養學生的這一能力不僅限于此。在一堂課的任何時候，學生有問題都可以提問，甚至鼓勵他們提出一些書本上沒有給出答案的問題，從而養成良好的質疑能力，學會科學的學習方法。如：
