發布時間：2023-03-15 15:04:16
序言：寫作是分享個人見解和探索未知領域的橋梁，我們為您精選了8篇的法學學術論文樣本，期待這些樣本能夠為您提供豐富的參考和啟發，請盡情閱讀。
他指出，兒童發展任何時候不是僅僅由成熟的部分決定的。他說，至少可以確定兒童有兩個發展的水平，第一個是現有的發展水平，表現為兒童能夠獨立地、自如地完成教師提出的智力任務。第二個是潛在的發展水平。即兒童還不能獨立地完成任務，而必須在教師的幫助下，在任何活動中，通過模仿和自己努力才能完成的智力任務。這兩個水平之間的幅度則為“最近發展區”。
在維果茨基看來，“最近發展區”對智力發展和成功的進程，比現有水平有更直接的意義。他強調，教學不應該指望于兒童的昨天，而應指望于他的明天。只有走在發展前面的教學，才是好的教學。因為它使兒童的潛在發展水平不斷提高。
依據“最近發展區”的思想，“最近發展區”是教學發展的“最佳期限”，即“發展教學最佳期限”。即，在最佳期限內進行的教學是促進兒童發展最佳的教學。教學應根據“最近發展”。“如果只根據兒童智力發展的現有水平來確定教學目的、任務和組織教學，就是指望于兒童發展的昨天，面向已經完成的發展程”。這樣的教學，從發展意義上說是消極的。它不會促進兒童發展。教學過程只有建立在那些尚未成熟的心理機能上，才能產生潛在水平和現有水平之間的矛盾，而這種矛盾又可引起兒童心理機能間的矛盾，從而推動了兒童的發展。例如，初中一年級負數的教學，學生過去未認識負數。教師可以舉一些具體的、具有相反意義的量。如，可用溫度計測溫度的例子，在零攝氏度以上與在零攝氏度以下的時候的溫度怎樣表示，以吸引學生，使他們渴望找到表示這些量的數。從而解決他們想解決未能解決的問題。這樣的教學過程中的矛盾而引起的心理機能的矛盾，使學生很快掌握了負數的概念，并能運用其解決實際問題。
依據“最近發展區”教學也應采取適應的手段。教師借助教學方法、手段，引導學生掌握新知識，形成技能、技巧。要實現這一目的關鍵在“最近發展”區域，因此，教學方法、手段應考慮“最近發展區”。如，在初中二年級相似三角形教學，可先帶學生做教學實驗，讓學生應用已有知識測量學校校園內國旗旗桿的高，這樣學生感到興趣，旗桿不能爬，怎樣測量呢？心里感到納悶，這時教師可以充分學校的資源，帶領學生進行實地測量，得到一些數據。怎樣處理這些數據，當然學生未學相似三角形知識是不懂的。這樣必然會引起學生的心理機能的矛盾，再順水推舟，然后回到課堂。這樣比單一的教學方法效果好，從而達到培養他們注意自己不感興趣的東西。
所以高度重視認真探索學習方法，研究學習方法具有思維訓練的重要意義。下面我們一起來就初二學習內容，學習內外部環境。學習方法指導等方面探求、分析。
一、初二學習內、外部環境的變化
1、學科上的變化：和初一比較，初二開始添設幾何和物理，這兩個學科都是思維訓練要求較強的學科，直接為進入高一級學科或就業服務的學科。
2、學科思維訓練的變化：初二各學科在概念的演化、推理的要求、思維的全面性、深刻性、嚴密性、創造性方面都提出了比初一更高的要求。
3、思維發展內部的變化：您的思維發展從思維發展心理學的角度看已進入新的階段，即已經熾烈地、急劇地進入第五個飛躍期的高峰。這個“飛躍”期是否會縮短，“飛躍”的質量是否理想要靠兩個條件：2）教師精心的指導；2）您自己不懈地努力。
4、外部干擾因素的變化：初二正是您性格定型加快節奏，幻想重重的年齡期，常常表現出心理狀態和情緒的不穩定，例如逆反情緒發展。這給外部的誘惑和干擾創造了乘亂而入、乘虛而入的條件。不要因為這些妨礙您正常地接受教師和家長的指導；破壞了您專一學習的正常心理狀態。要學會“冷靜”、“自抑”，把充沛的青春活力投入到學習活動中去。
二、初二學法指導要點
1、積極培養自己對新添學科的學習興趣；平面幾何是邏輯推理、形象思維、抽象思維訓練的體操，平幾學習的好壞，直接影響您的思維發展，影響您順利地完成第五個思維發展飛躍。理化學科是您將來從事理工科的基礎，語文的快速閱讀和寫作訓練也在為您今后的發展奠定基矗。
您在生理上的浙趨成熟，已經為您自我培養廣泛的學習興趣和學科愛好創造了前提條件。但切記勿偏科，初中階段的所有學科都是您和諧完美發展的第一塊基石。
2、用好“讀、聽、議、練、評”“五字”學習法，掌握學習主動權。讀：讀書預習；聽：聽課；議：講議討論；練：復讀練習，形成技能；評：自我評價掌握學習內容的水平。
3、在評價中學習，在評價中達標：“在評價中學習”是指給自己提出明確的學習目標，在目標的指導和鞭策下學習，以利提高學習效率（增加有效學習時間）。“在評價中達標”是指只有進入“自我評價狀態的學習”，才能有效地達到學習目標，強烈的自我追逐學習目標，才能高質量、高水平的達到目標。回憶您在進入考場前的幾分鐘強記強背的情境，效率之高，達標之快，超過平時的十倍、百倍，原因在于您進入了“激奮的自我評價狀態”。
4、聽課要訣：1）在自學預習的基礎上聽；2）手腦并用，勤于實踐議練，勤于筆記，養成筆記的習慣；3）勇于發言，發問，暴露自己的疑點、弱點；4）把握重點和難點。對“重點”要“練而不厭”，對“難點”要鍥而不舍；5）形散神不散。課堂上，教師的讀、講、議、練、評活動安排從形式上可能有些“散”，您要積極參與配合，做到45分鐘形散神不散；6）重視每節課的歸納小結，把感性認識上升為理性認識。就數學而言要學會歸納知識結構、題型、數學思想和方法。
一、數學學法指導的意義
1．數學教學方法改革的需要
長期以來，數學教學改革偏重于對教的研究，但是對于學生是如何學的，學的活動是如何安排的，往往較少問津．現代教學理論認為，教學方法包括教的方法和學的方法，正如前蘇聯教學論專家巴班斯基指出的那樣：“教學方法是由學習方式和教學方式運用的協調一致的效果決定的．”即教學方法是受教與學相互依存的教學規律所制約的．
當前，教學方法改革中的一個新的發展趨向，就是教法改革與學法改革相結合，以研究學生科學的學習方法作為創建現代化教學方法的前提，寓學法于教法之中，把學法研究的著眼點放在縱向的教法改革與橫向的學法改革的交匯處．從這個意義上講，學法指導應該是教學方法改革的一個重要方面．
2．培養學生學習能力的需要
埃德加•富爾在《學會生存》一書中指出：“未來的文盲不再是不識字的人，而是沒有學會怎樣學習的人．”“教會學生學習”已成為當今世界流行的口號．前蘇聯教育家贊可夫在他的教學經驗新體系中，把“使學生理解學習過程”作為五大原則之一．就是說，學生不能只掌握學習內容，還要檢查、分析自己的學習過程，要學生對如何學、如何鞏固，進行自我檢查、自我校正、自我評價．學法指導的目的，就是最大限度地調動學生學習的主動性和積極性，激發學生的思維，幫助學生掌握學習方法，培養學生學習能力，為學生發揮自己的聰明才智提供和創造必要的條件．
3．更好地體現學生為主體的需要
我國著名教育家陶行知先生早就指出：“我以為好的先生不是教書，不是教學生，乃是教學生學．”美國心理學家羅斯也說過：“每個教師應當忘記他是一個教師，而應具有一個學習促進者的態度和技巧．”專家學者精辟地闡述了學生在整個教學過程中始終是認識的主體和發展的主體思想，強調了學法指導中以學生為主體的重要性．教師在教學過程中的作用，只是為學生的認識的發展提供種種有利的條件，即幫助、指導學生學習，培養學生自學的能力和習慣．
二、數學學法指導的內容
1．形成良好的非智力因素的指導
主要包括學習需要、動機、興趣、毅力、情緒等良好的非智力因素形成的指導．
2．學習方法體系的指導
（1）指導學生形成擬定自學計劃的能力．
（2）指導學生學會預習的能力．要求學生邊讀邊思邊做好預習筆記，從而能帶著問題聽課．
（3）指導學生讀書的方法．
（4）指導學生做筆記、寫心得、繪圖表的方法，使他們能夠把自己的思想表達出來．
（5）指導學生有效的記憶方法和溫習教材的方法．
3．學習能力的指導
包括觀察力、記憶力、思維力、想象力、注意力以及自學、表達等能力的培養．
4．應考方法的指導
教育學生樹立信心，克服怯場心理，端正考試觀．要把題目先看一遍，然后按先易后難的次序作答；要審清題意，明確要求，不漏做、多做；要仔細檢查修改．
5．良好學習心理的指導
教育學生學習時要專注，不受外界的干擾；要耐心仔細，獨立思考，不抄襲他人作業；要學會分析學習的困難，克服自卑感和驕傲情緒．
三、數學學法指導的原則
數學學法指導的原則是根據學生的學習任務、學習規律和學習經驗，對學生數學學習提出的基本法則．它是用來指導和改進學生學習，提高學習效率、質量的準則．
就目前數學教學研究情況和學生學習經驗來看，筆者以為有以下幾條原則．
1．系統化原則
要求學生將所學的知識在頭腦中形成一定的體系，成為他們知識總體中的有機組成部分．在教和學中，要把概念的形成與知識系統化有機聯系起來，加強各部分學習基礎知識內部和相互之間，以及數學與物理、化學、生物之間的邏輯聯系；注意從宏觀到微觀揭示其變化的內在本質．并在平時就要十分重視和做好從已知到未知，新舊聯系的系統化工作，使所學知識先成為小系統、大結構，達到系統化的要求．
2．針對性原則
就是針對數學學科的特征及學生的實際特點進行指導，這是學法指導的最根本原則．首先，要針對學生的年齡特征進行指導．一般來說，初中生知識面較窄，思維能力較差，注意力不持久，學習技能不很熟練，因此，對初中生的指導要具體、生動、形象，多舉典型事例，側重于具體學習技能的培養，使學生養成良好的學習習慣．高中生則不同，知識面較廣，理解力較強，因此，可向學生介紹一些學習數學知識的方法，側重于學習能力的培養，開設學法課．其次，要針對學生的類型差異進行指導．學生的類型大致有四種：第一種，優秀型．雙基扎實，學習有法，智力較高，成績穩定在優秀水平．第二種，松散型．學習能力強，但不能主動發揮，學習不夠踏實，雙基不夠扎實，學習成績不穩定．第三種，認真型．學習很刻苦認真，但方法較死，能力較差，基礎不夠扎實，成績上不去．第四種，低劣型．學無興趣，不下功夫，底子差，方法死，能力弱，學習成績差，處于“學習脫軌”和“惡性循環”狀態．對不同類型的學生，指導方法和重點要不同．對第一種側重于幫助優生進行總結并自覺運用學習方法；對第二種主要解決學習態度問題；對第三種主要解決方法問題；對第四種主要解決興趣、自信心和具體方法問題．3．實踐性原則
學習方法實際上是一種實踐性很強的技能，要使學生真正掌握學習方法，就必須進行方法訓練（即實踐），使之達到自動化、技巧化的程度．指導中切忌單純傳授知識，滿堂灌，學而不用．進行方法訓練時，要與具體內容相結合，使學生在具體運用中掌握學習方法．
4．實用性原則
學法指導的最終目的是用較少的時間學有所得、學有所成，改正不良方法，養成良好的學習習慣．所以應以常規方法為重點，指導時多講怎么做，少講為什么，力求理論闡述深入淺出，通俗易懂，增強可讀性，便于學生接受．注意穿插某些重要的單項學習法，如怎樣記筆記，怎樣積累資料，怎樣使用工具書，怎樣閱讀，等等．
5．自主性原則
指導學生優化學習方法，其著眼點在于發揮學生在學習中的主觀能動作用，確保學生的主體地位．為此，教師在組織教學的過程中，應力求貫徹學生自主原則，積極創造條件，讓學生有盡可能多的時間和余地進行自學，獨立地思考和解決問題．
6．及時鞏固原則
及時鞏固原是學習和發展的需要．例如，數學符號、概念、定理、公式等是數學特有的表現形式．教學實踐表明，數學符號、概念、定理、公式沒有學會和記住，是造成學生學習質量不高、學習發生困難的一個重要原因，只有及時鞏固，才能遷移應用．
四、數學學法指導的實施
數學學法指導是一個由非智力因素、學習方法、學習習慣、學習能力和學習效果組成的動力系統、執行系統、控制系統、反饋系統的整體，對其中任何一個系統的忽視，都會直接影響學法指導整體功能的發揮．因此，應以系統整體的觀點進行學法指導，以指導學生加強學習修養，激發學習動機，指導學生掌握和形成具有自己個性特點和科學的學習方法，指導學生養成良好的學習習慣和提高學習能力及效果為其內容及范圍．
1．形成良好的非智力因素的指導
非智力因素是學法指導得以進行的動力．積極的非智力因素，可以使學生學習的積極性長盛不衰．我們應把培養學生良好的非智力因素放在首位．具體可從以下幾個方面入手：
（1）激發學習動機，即激勵學生主體的內部心理機制，調動其全部心理活動的積極性．首先，以數學的廣泛應用，激發學生學好數學的熱情．其次，以我國在數學領域的卓越成就，培養學生的愛國主義思想，激發學習動機．再次，挖掘數學中的美育因素，使學生受到美的熏陶．此外，教師還可以在教學過程中，根據教學的內容，選用生動活潑、貼近學生生活的教學方法引起學生的興趣，使學生產生強烈的求知欲；教師還可以運用形象生動、貼近學生、幽默風趣的語言來感染學生；教師還可以安排既嚴謹又活潑的教學結構，形成熱烈和諧的氛圍，使學生積極主動、心情愉快地學習，充分調動學生學習的積極性和主動性．
（2）鍛煉學習意志．心理學家認為：“意志在克服困難中表現，也在經受挫折、克服困難中發展，困難是培養學生意志力的‘磨刀石’．”因此，數學教學中要經常給學生安排適當難度的練習題，讓他們付出一定的努力，在獨立思考中獨立解決問題（但注意難度必須適當，因為太難會挫傷學生的信心，太易又不能鍛煉學生的意志）．
（3）養成良好的學習習慣．第一，針對不同層次的學生提出不同的要求；第二，反復訓練，持之以恒；第三，樹立榜樣，激發自覺性；第四，評價表揚，鼓勵發展；第五，建立學習規章制度，嚴格管理；第六，創造良好學習環境，如搞好校風、學風、教風、班風建設．
2．數學學習方法內化的指導
（1）正確認識數學學習方法的重要性．啟發學生認識到科學的學習方法是提高學習成績的重要因素，并把這一思想貫穿于整個教學過程之中．如，結合教材內容，講述一些運用科學學習方法獲得成功的例子，召開數學學法研討會，讓學習成績優秀的同學介紹經驗，開辟專欄進行學習方法的討論，等等．
（2）指導學生掌握科學的數學學習方法．
①合理滲透．在教學中要挖掘教材內容中的學法因素，把學法指導滲透到教學過程中．
②相機點撥．教師要有強烈的學法指導意識，結合教學抓住最佳契機，畫龍點睛地點撥學習方法．
③及時總結．在傳授知識，訓練技能時，教師要根據教學實際，及時引導學生把所學的知識加以總結，使其逐步系統完善，并找出規律性的東西．
④遷移訓練．總結所學內容，進行學法的理性反思，強化并進行遷移運用，在訓練中掌握學法．
（3）開設數學學法指導課．學法最好安排在起始年級（高一、初一）開設，時間一般是每周或每兩周一課時，開設一學期或一學年，并列入數學教學計劃．要結合正反例子講，結合數學學科的具體知識和學法特點講，結合學生的思想實際講，邊講邊示范邊訓練．例如，講授名人和優秀學生學習的事例，或對反面典型進行剖析；介紹如何讀書、如何復習、如何記憶等一般的學習方法；精講數學解題的策略和思維方式；等等．當然學法課有時也可以由學生自己來上，或請優秀學生介紹經驗，或請有關教師作專題報告，還可以采用討論式．
（4）數學學法的矯正指導．學生在數學學習過程中總要暴露出這樣那樣的問題，這就需要老師對學生在學習中存在的問題有較清晰的認識，善于發現問題的癥結，在教學工作過程中密切注意學情，加強調查與觀察，最好對每個學生的學習情況建立個人檔案，隨時記載并采取相應措施予以針對性矯正，從而使學生改進學法，逐步掌握科學的學習策略，提高學習效率．
3．數學學習能力形成的指導
分析問題和解決問題的能力。這樣能夠讓小學生更好地理解和掌握數學知識，并加深小學生對所學數學知識的實際運用能力，進而提高了小學生的綜合實踐能力。增強小學生學習數學的興趣導學式教學法是一種幫助小學生自主進行學習的新模式，它能夠讓小學生接觸到更多、更廣的知識。在導學式教學方法的引導下，學生不再被動的接受教師傳授的知識，而可以選擇自己喜歡的事來做，這樣就讓小學生擁有的主動權增多了。而且教師在此過程中對小學生的積極引導作用，也能給予他們一定的肯定，增加他們學習數學的自信心，久而久之，就會讓小學生逐漸產生學習數學的強烈興趣，進而更好地促進小學生進行自主學習，使得他們的學習效率大大提高。
二、導學式教學法在小學數學教學中的應用實踐
1.游戲導學法的應用進行小學數學教學時，為了提升小學生的學習興趣，教師可以在課堂上增設游戲比賽以吸引他們的注意力。因為對于絕大多數的小學生來說，都具有非常強的好勝心，只要數學教師科學、合理的利用好這一點，就能夠很好地激發小學生學習數學的趣味性。具體而言，小學數學教師可以講班上學生分為幾個小組，然后通過讓小組之間進行比賽方式提高小學生的學習效率；與此同時，也能夠及時找出在數學學習時他們相互之間易犯的錯誤并進行糾正。此外，通過這種小組比賽，還能極大地增強小學生的自信心，并且培養他們的團隊意識。例如，當小學數學教師引導學生學習“四則運算”時，可以事先準備一些水果作為教學道具，然后以此來吸引小學生的注意力，并通過這些具體的水果道具進行演示，讓小學生能夠生動的理解四則運算的運算法則。教師講課內容結束后，還可以組織小學生進行運算比賽，并將此前的水果道具作為獎品獎勵給表現優異的學習小組組員。通過這樣的游戲式到學法，一方面能夠極大地提升小學生學習數學的興趣；另一方面也有助于更好地完成數學教師的教學目標，達到理想的教學效果。
2.圖形結合導學法的應用在小學幾何圖形教學時，很多小學生由于缺乏想象力而導致學習這一部分內容時感覺相當吃力。因此，作為小學數學教師，在講解幾何知識時就應該要注重對圖形結合導學法的運用，這樣不僅可以避免課堂氛圍的枯燥乏味性，也能增強小學生的學習積極性；進而提高小學生的空間想象力，找出最佳的幾何問題解題方法。例如，在幾何知識的教學時，小學數學教師可以借助一些空間模型，來將抽象的幾何概念轉化為具體的空間結構，幫助小學生增強自身的空間立體感，培養小學生的空間意識。與此同時，數學教師還應該重視對小學生測量能力的培養，讓小學生的自我動手能力和實踐能力得到鍛煉和增強。并依此來加深小學生對幾何圖形的認知與理解，增強他們的記憶力。
3.多媒體導學法的應用在教學課堂上對多媒體等網絡資源的利用，不僅可以極大的拓寬小學生的知識面，使他們樹立起自主學習的意識，而且還能極大地提高小學生學習數學的興趣。多媒體的運用可以通過影像和聲音等，將抽象的數學理論知識轉化為更形象、生動的知識，讓小學生在學習過程中能夠更容易的形成具體印象，進而降低小學生學習數學的難度，并加深他們對數學知識點的記憶能力。例如，當數學教師給小學生講解幾何知識時，便可以借助多媒體教具來更好地在課堂上展現幾何圖形的空間結構變化，使小學生能夠更容易的進行理解和記憶，從而提升課堂教學質量。
三、總結
能力是指主體能勝任某項任務的主觀條件。在數學學習中，學生的數學能力與他們的知識基礎和心理特征有關。技能是指依據一定的規則和程序去完成專門任務(解決特定的問題)的能力。顯然，技能和能力都與知識密不可分；但學生在任務(問題)面前如何對知識和運用這些知識的途徑進行選擇，使得完成任務(解決問題)達到多快好省，則是一項超越知識本身的心理活動。因此，把知識、技能和能力三者并列起來是合理的；但也應看清楚，這三者的順序是由低到高，在教育、教學的意義下是后者更重于前者。
一、歷史的回顧
我國的中學數學教學大綱，對于數學思想和數學方法的重要性的認識也有一個從低到高的過程。
由中華人民共和國教育部制訂、1978年2月第1版的《全日制十年制學校中學數學教學大綱(試行草案)》，在第2頁“教學內容的確定”的第(三)條中首次指出：“把集合、對應等思想適當滲透到教材中去，這樣，有利于加深理解有關教材，同時也為進一步學習作準備。”這一大綱在1980年5月第2版時維持了上述規定。
由中華人民共和國國家教育委員會制訂、1986年12月第1版的《全日制中學數學教學大綱》，在第2頁“教學內容的確定”的第(三)條中，把上述大綱的有關文字改成一句話：“適當滲透集合、對應等數學思想”。1990年修訂此大綱時，維持了這一規定。
由中華人民共和國國家教育委員會制訂、1992年6月第1版的《九年義務教育全日制初級中學數學教學大綱(試用)》，在第1頁“教學目的”中規定：“初中數學的基礎知識主要是初中代數、幾何中的概念、法則、性質、公式、公理、定理以及由其內容所反映出來的數學思想和方法。”這份大綱還第一次把資深的數學工作者們熟知的提法“數學，它的內容、方法和意義”改為數學的“內容、思想、方法和語言已廣泛滲入自然科學和社會科學，成為現代文化的重要組成部分”，并把這段話放入總論的第一段。在第9頁上又指出，要“使學生掌握消元、降次、配方、換元等常用的數學方法，解決某些數學問題，理解‘特殊棗一般棗特殊’、‘未知棗已知’、用字母表示數、數形結合和把復雜問題轉化成簡單問題等基本的思想方法”；在第6頁上還指出，“要注意充分發揮練習的作用，加強對解題的正確指導，應注意引導學生從解題的思想方法上作必要的概括。”
由國家教育委員會基礎教育司編訂、1996年5月第1版的《全日制普通高級中學數學教學大綱(供試驗用)》，在第2頁“教學目的”中也規定：“高中數學的基礎知識是指：高中數學中的概念、性質、法則、公式、公理、定理以及由其內容反映出來的數學思想和方法。”在界定“思維能力”一詞的四個主要層面時，指出第三層面是“會合乎邏輯地、準確地闡述自己的思想和觀點”；第四層面是“能運用數學概念、思想和方法，辨明數學關系，形成良好的思維品質”。這份大綱維持了數學的“內容、思想、方法和語言已成為現代文化的重要組成部分”的提法(第1頁)；并指出數學規律“包括公理、性質、法則、公式、定理及其聯系，數學思想、方法和語言”(第24頁)；堅持在對解題進行指導時，應該“對解題的思想方法作必要的概括”(第25頁)。這是建國以來對數學思想和數學方法關注最多的一份中學數學教學大綱，充分體現了數學教育工作者對于數學課程發展的一些共識。
二、數學思想方法
(一)思想、科學思想和數學思想
思想是客觀存在反映在人的意識中經過思維活動而產生的結果。它是從大量的思維活動中獲得的產物，經過反復提煉和實踐，如果一再被證明為正確，就可以反復被應用到新的思維活動中，并產生出新的結果。本文所指的思想，都是那些顛撲不破、屢試不爽的思維產物。因此，對于學習者來說，思想就成為他們進行思維活動的細胞和基礎；思想和下面述及的方法都是他們的思維活動的載體。每門科學都逐漸形成了它自己的思想，而科學法則概括出各門科學共同遵循和運用的一些科學思想。
所謂數學思想，是指現實世界的空間形式和數量關系反映到人的意識之中，經過思維活動而產生的結果，它是對數學事實與數學理論的本質認識。首先，數學思想比一般說的數學概念具有更高的抽象和概括水平，后者比前者更具體、更豐富，而前者比后者更本質、更深刻。其次，數學思想、數學觀點、數學方法三者密不可分：如果人們站在某個位置、從某個角度并運用數學去觀察和思考問題，那么數學思想也就成了一種觀點。而對于數學方法來說，思想是其相應的方法的精神實質和理論基礎，方法則是實施有關思想的技術手段。中學數學中出現的數學觀點(例如方程觀點、函數觀點、統計觀點、向量觀點、幾何變換觀點等)和各種數學方法，都體現著一定的數學思想。
數學思想是一類科學思想，但科學思想未必就單單是數學思想。例如，分類思想是各門科學都要運用的思想(比方語文分為文學、語言和寫作，外語分為聽、說、讀、寫和譯，物理學分為力學、熱學、聲學、電學、光學和原子核物理學，化學分為無機化學和有機化學，生物學分為植物學、動物學和人類學等；中學生見到的最漂亮的分類應該是在學習哺乳綱動物時所出現的門(亞門)、綱(亞綱)、目(亞目)、屬、科、種的分類表，它不是單由數學給予的。只有將分類思想應用于空間形式和數量關系時，才能成為數學思想。如果用一個詞語“邏輯劃分”作為標準，那么，當該邏輯劃分與數理有關時(可稱之為“數理邏輯劃分”)，可以說是運用數學思想；當該邏輯劃分與數理無直接關系時(例如把社會中的各行各業分為工、農、兵、學、商等)，不應該說是運用數學思想。同樣地，當且僅當哲學思想(例如一分為二的思想、量質互變的思想和肯定否定的思想)在數學中予以大量運用并且被“數學化”了時，它們也可以稱之為數學思想。
(二)數學思想中的基本數學思想
在數學思想中，有一類思想是體現或應該體現于基礎數學中的具有奠基性和總結性的思維成果，這些思想可以稱之為基本數學思想。基本數學思想含有傳統數學思想的精華和近現代數學思想的基本特征，并且也是歷史地形成和發展著的。
基本數學思想包括：符號與變元表示的思想，集合思想，對應思想，公理化與結構思想，數形結合的思想，化歸的思想，對立統一的思想，整體思想，函數與方程的思想，抽樣統計思想，極限思想(或說無限逼近思想)等。它有兩大“基石”棗符號與變元表示的思想和集合思想，又有兩大“支柱”棗對應思想和公理化與結構思想。有些基本數學思想是從“基石”和“支柱”衍生出來的，例如“函數與方程的思想”衍生于符號與變元表示的思想(函數式或方程式)、集合思想(函數的定義域或方程中字母的取值范圍)和對應思想(函數的對應法則或方程中已知數、未知數的值的對應關系)。所以我們說基本數學思想是體現或應該體現于“基礎數學”(而不是說“初等數學”)的具有奠基性和總結性的思維成果。基本數學思想及其衍生的數學思想，形成了一個結構性很強的網絡。中學數學教育、教學中傳授的數學思想，應該都是基本數學思想。
非科學思想當然也是大量存在的。例如，“崇洋”的思想就是一種非科學思想。
中學數學教科書中處處滲透著基本數學思想。如果能使它落實到學生學習和運用數學的思維活動上，它就能在發展學生的數學能力方面發揮出一種方法論的功能。
(三)思路、思緒和思考
我們在中學數學教育、教學中，還經常使用著“思路”和“思緒”這兩個詞語。一般說來，“思路”是指思維活動的線索，可視為以串聯、并聯或網絡形狀出現的思想和方法的載體，而“思緒”是指思想的頭緒。“思路”和“思緒”實際上是同義詞，并且它們都是名詞。
那么，另一個詞語“思考”又是什么意思呢?“思考”就是進行比較深刻、周到的思維活動。作為動詞，它反映了主體把思想、方法、串聯、并聯或用網絡組織起來以解決問題的思維過程。由此可見，“思考”所產生的有效途徑就是“思路”或“思緒”；“思路”或“思緒”是“思考”的結果，是思想、方法的某種選擇和組織，且明顯帶有程序性。對思路及其所含思想、方法的選擇和組織的水平，反映了學習者能力的差異。(四)方法和數學方法
所謂方法，是指人們為了達到某種目的而采取的手段、途徑和行為方式中所包含的可操作的規則或模式。人們通過長期的實踐，發現了許多運用數學思想的手段、門路或程序。同一手段、門路或程序被重復運用了多次，并且都達到了預期的目的，便成為數學方法。數學方法是以數學為工具進行科學研究的方法，即用數學語言表達事物的狀態、關系和過程，經過推導、運算和分析，以形成解釋、判斷和預言的方法。
數學方法具有以下三個基本特征：一是高度的抽象性和概括性；二是精確性，即邏輯的嚴密性及結論的確定性；三是應用的普遍性和可操作性。
數學方法在科學技術研究中具有舉足輕重的地位和作用：一是提供簡潔精確的形式化語言，二是提供數量分析及計算的方法，三是提供邏輯推理的工具。現代科學技術特別是電腦的發展，與數學方法的地位和作用的強化正好是相輔相成。
宏觀的數學方法包括：模型方法，變換方法，對稱方法，無窮小方法，公理化方法，結構方法，實驗方法。微觀的且在中學數學中常用的基本數學方法大致可以分為以下三類：
(1)邏輯學中的方法。例如分析法(包括逆證法)、綜合法、反證法、歸納法、窮舉法(要求分類討論)等。這些方法既要遵從邏輯學中的基本規律和法則，又因運用于數學之中而具有數學的特色。
(2)數學中的一般方法。例如建模法、消元法、降次法、代入法、圖象法(也稱坐標法。代數中常用圖象法，解析幾何中常用坐標法)、向量法、比較法(數學中主要是指比較大小，這與邏輯學中的多方位比較不同)、放縮法、同一法、數學歸納法(這與邏輯學中的不完全歸納法不同)等。這些方法極為重要，應用也很廣泛。
(3)數學中的特殊方法。例如配方法、待定系數法、加減法、公式法、換元法(也稱之為中間變量法)、拆項補項法(含有添加輔助元素實現化歸的數學思想)、因式分解諸方法，以及平行移動法、翻折法等。這些方法在解決某些數學問題時起著重要作用，不可等閑視之。
(五)方法和招術
如上所述，方法是解決思想、行為等問題的門路和程序，是思想的產物，是包含或體現著思想的一套程序，它既可操作又可仿效。在選擇并實施方法的前期過程中，反映了學習者的能力和技能的高低；而在后期過程中，只反映了學習者的技能的差異。
所謂“招術”“招”字應正為“著”字，本文仍用傳統的“一招一式”的說法。是指解決特殊問題的專用計策或手段，純屬于技能而不屬于能力。“招”的教育價值遠低于“法”(這里的“法”指“通法”)的價值。“法”的可仿效性帶有較為“普適”的意義，而“招”的“普適”要差得多；實施“招”要以能實施管著它的“法”為前提。
例如，待定系數法是一種特別有用的“法”。求二次函數的解析式時，用待定系數法根據圖象上三個點的坐標求出解析式可看作第一“招”；根據頂點和另一點的坐標求出解析式可看作第二“招”；根據與x軸交點和另一點的坐標求出解析式可看作第三“招”。這三“招”各有奇妙之處。哪一“招”更好使用，要看條件和管著它們的“法”而定。教師授予學生“用待定系數法求二次函數的解析式”，最根本、最要緊的“法旨”就在于讓學生明確二次函數的解析式中自變量、函數值和圖象上點的橫、縱坐標的對應關系；對于一般的點和特殊的點(例如頂點及與x軸的交點)，解析式可以有什么不同的反映。而這樣的“法旨”，恰恰體現了對應思想和數形結合的思想。由此看來，我國古代傳說中經常提到的某些師傅對待弟子“給‘招’不給‘法’”的現象，在現代的數學教育、教學中應該盡量避免。
三、中學數學教科書中應該傳授的基本數學思想和方法
(一)中學數學教科書中應該傳授的基本數學思想中學數學教科書擔負著向學生傳授基本數學思想的責任，在程度上有“滲透”、“介紹”和“突出”之分。1.滲透。“滲透”就是把某些抽象的數學思想逐漸“融進”具體的、實在的數學知識中，使學生對這些思想有一些初步的感知或直覺，但還沒有從理性上開始認識它們。要滲透的有集合思想、對應思想、公理化與結構思想、抽樣統計思想、極限思想等。前三種基本數學思想從初中一年級就開始滲透了，并貫徹于整個中學階段；抽樣統計思想可從初中三年級開始滲透，極限思想也可從初中三年級的教科書中安排類似于“關于圓周率π”這樣的閱讀材料開始滲透。至于公理化與結構思想，要注意根據人類的認識規律，一開始就采取擴大的公理體系。例如，教科書既可以把“同位角相等，兩直線平行”和它的逆命題都當作公理，也可以把判定兩個三角形全等的三個命題“邊角邊”、“角邊角”和“邊邊邊”都當作公理。
這種滲透是隨年級逐步深入的。例如集合思想，初中是用文氏圖或列舉法來表示集合，不等式(組)的解集可以用數軸表示或用不等式(組)表示；高中則是列舉法、描述法、文氏圖三者并舉，并同時允許用不等式(組)、區間或集合的描述法來表示實數集的某些子集。又如對應思想，初中只用文字、數軸或平面直角坐標系來講對應；高中則在此基礎上引入了使用符號語言的對應法則。至于公理化與結構思想、抽樣統計思想和極限思想在初、高中階段的不同滲透水平，則是眾所周知的。“滲透”到一定程度，就是“介紹”的前奏了。
2.介紹。“介紹”就是把某些數學思想在適當時候明確“引進”到數學知識中，使學生對這些思想有初步理解，這是理性認識的開始。要介紹的有符號與變元表示的思想、數形結合的思想、化歸的思想、函數與方程的思想、抽樣統計思想、極限思想等。這種介紹也是隨年級逐步增加的。有的思想從初中一年級起就開始介紹(例如前四種基本數學思想)，有的則是先滲透后介紹(例如后兩種基本數學思想)。“介紹”與“滲透”的基本區別在于：“滲透”只要求學生知道有什么思想和是什么思想，而“介紹”則要求學生在此基礎上進而知道為什么叫做思想(含思想的要素和特征)、用什么思想(含思想的用途)并學會運用。作為補充，也可以就問題適時地向學生介紹如何運用一分為二的思想和整體思想。
3.突出。“突出”就是把某些數學思想經常性地予以強調，并通過大量的綜合訓練而達到靈活運用。它是在介紹的基礎上進行的，目的在于最大限度地發揮這些數學思想的功能。要突出的有數形結合的思想、化歸的思想、函數與方程的思想等。這些基本數學思想貫穿于整個中學階段，最重要、最常用，是中學數學的精髓，也最能長久保存在人一生的記憶之中。“介紹”與“突出”的基本區別在于：“介紹”只要求學生知道用什么和會用，而“突出”則要求學生在此基礎上進而知道選用和善用。作為補充，也可以就數學問題經常向學生突出分類思想的運用。
(二)中學數學教科書中應該傳授的基本數學方法在傳授基本數學方法方面，仍如義務教育初中數學教學大綱所界定的，有“了解”、“理解”、“掌握”和“靈活運用”這四個層次。這四個層次的含義也可以遵照該大綱中的提法(第8頁腳注)，新的高中數學教學大綱(供試驗用。本文下面所述“高中大綱”均指此大綱)維持了這些提法(第4頁腳注)。分別屬于這四個層次的基本數學方法的例子有：“了解數學歸納法的原理”(高中大綱第9頁)，“了解用坐標法研究幾何問題”(高中大綱第10頁)；“理解‘消元’、‘降次’的數學方法”(初中大綱第19頁)；“掌握分析法、綜合法、比較法等幾種常用方法證明簡單的不等式(高中大綱第6頁)”；“靈活運用一元二次方程的四種解法求方程的根”(初中大綱第17頁。四種解法指直接開平方法、配方法、公式法和因式分解法)。在這方面，大綱的規定是比較明確的。
一、學具操作有利于調動學生思維的積極性與創造性
小學數學教學中，學生的認知對象主要是經過前人無數次實踐總結出來的認識成果——概括化的知識體系，抽象性是它的一個重要特征。這就大大提高了認識的起點，增強了認知的難度。小學生注意力集中的時間短，如果讓學生從教師的語言——黑板——教師的動作中去接受知識，模仿思維，時間稍長，他們便因單調感到乏味。因此，讓學生操作學具，一方面可使學生手、口、腦、眼、耳多種感官并用，擴大信息源，創設良好的思維情境；另一方面也滿足了小學生好動、好奇的特性。利用學具操作的直觀具體性集中學生的注意力，營造出一個符合兒童認知規律的思維氛圍，有利于學生思維主動性與創造性的發揮。
二、學具操作有利于培養學生思維的層次性與邏輯性
如何處理抽象的數學問題，比如數學基本概念，應用題等，常規的教學方法主要是從一些“關鍵”的字、詞入手引導學生分析。由于這樣的方法本身就是抽象的，運用時相當一部分思維能力不夠強的學生就只能作機械地模仿，甚至無從下手，因而不易達到應有的教學效果。如果教學中充分發揮學生的主動性，讓學生擺一擺、做一做，把抽象的內容形象化，這能在“思維過渡”中起到“船”和“橋”的作用。例如：在教學“正方形的認識”時，我發給學生六張紙片（圖略），讓學生先數數六個圖形邊的條數和角的個數；歸納出它們的共同點（都是四邊形）。再用直尺量量每條邊的長度，看誰先指出四條邊都相等的圖形（菱形和正方形）。接下來再讓學生用三角板比一比這兩個圖形的角，找出四個角都是直角的圖形來。這時，再告訴他們，這就是我們今天要學習的“正方形”。之后，我又發給學生幾張大小不等的正方形紙片，讓學生數一數（邊數），量一量（邊長），比一比（角）。在此基礎上引導學生說出正方形的特征。這樣，把“正方形”放到“四邊形”的整體中去認識，分層揭示正方形的特征，讓學生參與了概念形成的思維過程，學生概括起來言之有物，思路清晰，邏輯性強。
三、學具操作有利于促進學生思維的內化與外化
無論是思維的內化還是外化，都必須在豐富“表象”的基礎上進行。而表象的建立，往往又離不開演示與操作。因此，應適當地加強操作教學，讓學生在操作實踐中充分感知，建立起豐富的表象基礎。
例如，為了幫助學生掌握能被3整除的數的特征，課上，我讓學生用小棒在千以內的數位順序表上擺數：先是用3根小棒擺出300、210、201、120、102、30、21……都能被3整除；然后用4根小棒擺出400、310、301、220、202、211……都不能被3整除；接著再用5根、6根……9根小棒去擺，引導學生發現擺出的數是否能被3整除與小棒的根數有關。引導學生比較得出：當小棒的根數是3的倍數時，擺出的數都能被3整除。在此基礎上再引導學生理解各位上數字和能被3整除的數能被3整除就水到渠成了。這樣，在操作中歸納，再把外部操作內化為思維的條件，通過表象進行思維，可順利地實現思維的內化。
與上例不同，在教學“20以內的進位加法”時，我則讓學生先把解題的過程在心里默想一遍，答題時一邊操作學具，一邊結合操作說出思考步驟。這樣手、口、腦并用，有利于學生將內部語言轉化為外部語言，促進思維的外化。
四、學具操作有利于提高學生思維品質和效率
培養學生思維的品質和效率，是發展思維能力的突破點，是提高教學質量的重要途徑。操作教學利于發揮學生的主體作用，課堂上學情濃，探索性強；學生互相交流，互相協作，為創造性地運用所學知識去發現新事物、提出新見解創設了良好的情境。
如教學平面圖形面積計算時，有不少題目的解法不唯一，對此，可讓學生利用學具畫、折、剪、拼，把條件間隱蔽的關系明朗化，從而開拓思路，得以多解。
附圖{圖}
如上圖(1)，已知平行四邊形面積為30平方厘米，求陰影部分面積。（單位：厘米）
我們可先求陰影部分三角形的底，再求出面積，或者用總面積減去梯形的面積求得。但在解題時，有不少學生在圖上添加了輔助線，思路就不同了：
如圖(1)：總面積÷2-直角三角形面積
如圖(2)：（總面積-長方形面積）÷2
如圖(3)：（總面積-平行四邊形面積）÷2
也有些學生把學具剪開，平移，重新拼合，變成圖(4)，解法更為直觀：（總面積-長方形面積）÷2。學會從不同的角度思考問題，有利于培養思維的靈活性與創造性，提高思維效率。
1．教學聯系實踐
教學如果僅僅停留于課本本身，則很難讓學生感知數學的實際效用，學生覺得學習數學并沒有實踐應用的空間和機會，自然不會主動地去學習。教師在進行教學時，要重視與實際的聯系，不能重理論脫離實際。最好能夠列舉學生身邊的例子，讓學生意識到數學的的確確能夠為自己的生活帶來益處和影響。舉一個簡單的例子：在學習函數圖像時，教師應引導學生不再單一地將圖像看作一個單獨的圖形，要啟發學生將函數波谷式的起伏看作生活的一場旅行，有瀏覽在最高處景點也會有低海拔的低谷，這就引發學生積極地計算函數中的最值問題，可以將數軸上的每個點想象成一個國家或者城市，這樣學生的學習興趣就會得到激發，課堂氣氛也相對活躍，教師講解起來也就事半功倍了。
2．直觀教學
中專學生的學習基礎相對不夠殷實，所以教師在進行教學的時候要更加注重直觀的教學。對于一些較抽象的概念和定理，最好能夠舉直觀的例子或者借助教學道具幫助學生理解。譬如在講解立體圖像體積容積計算時，不要一味地在黑板上進行講解，可以選取相似的事物或者生活中的實物進行講解，讓學生有一個直觀的感受，學生有了直觀的印象，運算起來就會形成自己的思維圖案，這對于開發學生的立體思維很有益處。
二、精心設計教學氛圍
教學氛圍對教學效果起著重要的作用，但有利于學生數學學習的課堂氛圍不會是一蹴而就的，需要教師進行精心的設計和實踐。對于中專學生來說，存在數學基礎較差，甚至部分學生不自信的情況。要多鼓勵，對于學生的進步要及時給予表揚和肯定，營造寬松積極的學習氛圍，這樣學生才能慢慢實現主動積極地學習數學知識，在課堂上配合教師的教學行為，積極思考，大膽舉手發言。還有就是教師要關注每位學生的心理變化，依據學生的情緒在教學進程上適時進行一些調整，當發現學生普遍存有疑惑時，就不要進行下一環節的講解，而要用一定的時間做一些鞏固復習和習題答疑。當發現學生精神不夠集中時，要多提一些開放式的問題，引導學生討論，樹立起其課堂主人翁的姿態。
三、講練結合
教師除了精心設計教學的內容之外，還要將教學內容和實際操作很好地銜接在一起，練習是對課堂效率最好的檢驗，教師在課堂上要多進行啟發式的發問，讓學生作答，這樣一問一答學生就有了練習的機會。同時課程進行大半段后，一些學生精力并不是很集中了，可通過這種師生互動、小組互動的方式可以讓學生再次集中注意力。
四、幫助學生找到適合的學習方法
中專學生在數學方面普遍存在一個問題，就是找不到適合自己的學習方式，學習不得法成績不好，學習的熱情自然下降，甚至有可能放棄繼續學習。教師要關注學生的學習特質，幫助每位學生找到適合自己的學習方法，在教學時尋找適當的時機滲透數學的思維方式和解題方法，對學生進行耐心的指導。教師要多觀察學生在學習數學中的瓶頸和難點在哪里，多和學生進行交流，向學生滲透一些聽課的關鍵點。譬如，在別的同學回答問題時，并不是其余學生的自由時間，而是要他們聽該同學的解題思路，考慮是否和自己的相同，多多拓寬自己的思路，思維發散對于學習數學是非常重要的。
五、結束語
所謂數學思想，是指人們對數學理論與內容的本質認識，它直接支配著數學的實踐活動。所謂數學方法，是指某一數學活動過程的途徑、程序、手段，它具有過程性、層次性和可操作性等特點。數學思想是數學方法的靈魂，數學方法是數學思想的表現形式和得以實現的手段，因此，人們把它們稱為數學思想方法。
小學數學教材是數學教學的顯性知識系統，許多重要的法則、公式，教材中只能看到漂亮的結論，許多例題的解法，也只能看到巧妙的處理，而看不到由特殊實例的觀察、試驗、分析、歸納、抽象概括或探索推理的心智活動過程。因此，數學思想方法是數學教學的隱性知識系統，小學數學教學應包括顯性和隱性兩方面知識的教學。如果教師在教學中，僅僅依照課本的安排，沿襲著從概念、公式到例題、練習這一傳統的教學過程，即使教師講深講透，并要求學生記住結論，掌握解題的類型和方法，這樣培養出來的學生也只能是“知識型”、“記憶型”的，將完全背離數學教育的目標。
在認知心理學里，思想方法屬于元認知范疇，它對認知活動起著監控、調節作用，對培養能力起著決定性的作用。學習數學的目的“就意味著解題”（波利亞語），解題關鍵在于找到合適的解題思路，數學思想方法就是幫助構建解題思路的指導思想。因此，向學生滲透一些基本的數學思想方法，提高學生的元認知水平，是培養學生分析問題和解決問題能力的重要途徑。
數學知識本身是非常重要的，但它并不是惟一的決定因素，真正對學生以后的學習、生活和工作長期起作用，并使其終生受益的是數學思想方法。未來社會將需要大量具有較強數學意識和數學素質的人才。21世紀國際數學教育的根本目標就是“問題解決”。因此，向學生滲透一些基本的數學思想方法，是未來社會的要求和國際數學教育發展的必然結果。
小學數學教學的根本任務是全面提高學生素質，其中最重要的因素是思維素質，而數學思想方法就是增強學生數學觀念，形成良好思維素質的關鍵。如果將學生的數學素質看作一個坐標系，那么數學知識、技能就好比橫軸上的因素，而數學思想方法就是縱軸的內容。淡化或忽視數學思想方法的教學，不僅不利于學生從縱橫兩個維度上把握數學學科的基本結構，也必將影響其能力的發展和數學素質的提高。因此，向學生滲透一些基本的數學思想方法，是數學教學改革的新視角，是進行數學素質教育的突破口。
二、小學數學教學中應滲透哪些數學思想方法
古往今來，數學思想方法不計其數，每一種數學思想方法都閃爍著人類智慧的火花。一則由于小學生的年齡特點決定有些數學思想方法他們不易接受，二則要想把那么多的數學思想方法滲透給小學生也是不大現實的。因此，我們應該有選擇地滲透一些數學思想方法。筆者認為，以下幾種數學思想方法學生不但容易接受，而且對學生數學能力的提高有很好的促進作用。
1.化歸思想
化歸思想是把一個實際問題通過某種轉化、歸結為一個數學問題，把一個較復雜的問題轉化、歸結為一個較簡單的問題。應當指出，這種化歸思想不同于一般所講的“轉化”、“轉換”。它具有不可逆轉的單向性。
例1狐貍和黃鼠狼進行跳躍比賽，狐貍每次可向前跳41／2米，黃鼠狼每次可向前跳23／4米。它們每秒種都只跳一次。比賽途中，從起點開始，每隔123／8米設有一個陷阱，當它們之中有一個掉進陷阱時，另一個跳了多少米？
這是一個實際問題，但通過分析知道，當狐貍（或黃鼠狼）第一次掉進陷阱時，它所跳過的距離即是它每次所跳距離41／2（或23／4）米的整倍數，又是陷阱間隔123／8米的整倍數，也就是41／2和123／8的“最小公倍數”（或23／4和123／8的“最小公倍數”）。針對兩種情況，再分別算出各跳了幾次，確定誰先掉入陷阱，問題就基本解決了。上面的思考過程，實質上是把一個實際問題通過分析轉化、歸結為一個求“最小公倍數”的問題，即把一個實際問題轉化、歸結為一個數學問題，這種化歸思想正是數學能力的表現之一。
2.數形結合思想
數形結合思想是充分利用“形”把一定的數量關系形象地表示出來。即通過作一些如線段圖、樹形圖、長方形面積圖或集合圖來幫助學生正確理解數量關系，使問題簡明直觀。
例2一杯牛奶，甲第一次喝了半杯，第二次又喝了剩下的一半，就這樣每次都喝了上一次剩下的一半。甲五次一共喝了多少牛奶？
附圖{圖}
此題若把五次所喝的牛奶加起來，即1／2＋1／4＋1／8＋1／16＋1／32就為所求，但這不是最好的解題策略。我們先畫一個正方形，并假設它的面積為單位“1”，由圖可知，1－1／32就為所求，這里不但向學生滲透了數形結合思想，還向學生滲透了類比的思想。
3.變換思想
變換思想是由一種形式轉變為另一種形式的思想。如解方程中的同解變換，定律、公式中的命題等價變換，幾何形體中的等積變換，理解數學問題中的逆向變換等等。
例3求1／2＋1／6＋1／12＋1／20＋……＋1／380的和。
仔細觀察這些分母，不難發現：2＝1×2，6＝2×3，12＝3×4，20＝4×5……380＝19×20，再用拆分的方法，考慮和式中的一般項
a[,n]＝1／n×（n＋1）＝1／n－1／n＋1
于是，問題轉換為如下求和形式：
原式＝1／1×2＋1／2×3＋1／3×4＋1／4×5＋……＋1／19×20
＝（1－1／2）＋（1／2－1／3）＋（1／3－1／4）＋（1／4－1／5）＋……＋（1／19－1／20）
＝1－1／20
＝19／20
4.組合思想
組合思想是把所研究的對象進行合理的分組，并對可能出現的各種情況既不重復又不遺漏地一一求解。
例4在下面的乘法算式中，相同的漢字代表相同的數字，不同的漢字代表不同的數字，求這個算式。
從小愛數學
×4
──────
學數愛小從
分析：由于五位數乘以4的積還是五位數，所以被乘數的首位數字“從”只能是1或2，但如果“從”＝1，“學”×4的積的個位應是1，“學”無解。所以“從”＝2。
在個位上，“學”×4的積的個位是2，“學”＝3或8。但由于“學”又是積的首位數字，必須大于或等于8，所以“學”＝8。
在千位上，由于“小”×4不能再向萬位進位，所以“小”＝1或0。若“小”＝0，則十位上“數”×4＋3（進位）的個位是0，這不可能，所以“小”＝1。
在十位上，“數”×4＋3（進位）的個位是1，推出“數”＝7。
在百位上，“愛”×4＋3（進位）的個位還是“愛”，且百位必須向千位進3，所以“愛”＝9。
故欲求乘法算式為
21978
×4
──────
87912
上面這種分類求解方法既不重復，又不遺漏，體現了組合思想。
此外，還有符號思想、對應思想、極限思想、集合思想等，在小學數學教學中都應注意有目的、有選擇、適時地進行滲透。
三、小學數學教學應如何加強數學思想方法的滲透
1.提高滲透的自覺性
數學概念、法則、公式、性質等知識都明顯地寫在教材中，是有“形”的，而數學思想方法卻隱含在數學知識體系里，是無“形”的，并且不成體系地散見于教材各章節中。教師講不講，講多講少，隨意性較大，常常因教學時間緊而將它作為一個“軟任務”擠掉。對于學生的要求是能領會多少算多少。因此，作為教師首先要更新觀念，從思想上不斷提高對滲透數學思想方法重要性的認識，把掌握數學知識和滲透數學思想方法同時納入教學目的，把數學思想方法教學的要求融入備課環節。其次要深入鉆研教材，努力挖掘教材中可以進行數學思想方法滲透的各種因素，對于每一章每一節，都要考慮如何結合具體內容進行數學思想方法滲透，滲透哪些數學思想方法，怎么滲透，滲透到什么程度，應有一個總體設計，提出不同階段的具體教學要求。
2.把握滲透的可行性
數學思想方法的教學必須通過具體的教學過程加以實現。因此，必須把握好教學過程中進行數學思想方法教學的契機——概念形成的過程，結論推導的過程，方法思考的過程，思路探索的過程，規律揭示的過程等。同時，進行數學思想方法的教學要注意有機結合、自然滲透，要有意識地潛移默化地啟發學生領悟蘊含于數學知識之中的種種數學思想方法，切忌生搬硬套、和盤托出、脫離實際等適得其反的做法。
