發布時間：2023-03-07 15:04:09
序言：寫作是分享個人見解和探索未知領域的橋梁，我們為您精選了8篇的數學課程標準樣本，期待這些樣本能夠為您提供豐富的參考和啟發，請盡情閱讀。
一、“基本理念與設計思路”變了
1.對數學的意義、數學教育的作用等的表述變了。
重新闡述了數學的意義與性質，進一步明確了數學教育的作用和義務教育階段數學課程的特征。
《標準（修改稿）》指出：“數學是研究數量關系和空間形式的科學。數學與人類發展和社會進步息息相關，特別是隨著現代信息技術的飛速發展，數學更加廣泛應用于社會生產和日常生活的各個方面。數學作為對于客觀現象抽象概括而逐漸形成的科學語言與工具，不僅是自然科學和技術科學的基礎，而且在人文科學與社會科學中發揮著越來越大的作用。”
義務教育階段的數學課程是培養公民素質的基礎課程，具有基礎性、普及性和發展性。數學的抽象性、嚴謹性和應用廣泛性，決定了數學課程在義務教育階段的獨特作用。
義務教育的數學課程是學生未來生活、工作和學習的重要基礎。數學課程有助于學生掌握必備的基礎知識和基本技能；有助于培養學生的抽象思維和推理能力；有助于培養學生的創新意識和實踐能力；有助于學生在情感、態度與價值觀等方面得到發展。
2.“基本理念”變了。
《標準》提出的基本理念總體上反映了基礎教育改革的方向，因此，這次修改基本保持了《標準》的結構，對某些表述進行了修改。
實驗稿的“三句話”：人人學有價值的數學，人人都能獲得必需的數學，不同的人在數學上得到不同的發展。
修改稿變為了“兩句話”：人人都能獲得良好的數學教育，不同的人在數學上得到不同的發展。
實驗稿：數學課程――數學――數學學習――數學教學――評價――信息技術。
修改稿：數學課程――課程內容――教學活動――學習評價――信息技術。
將實驗稿的“數學學習”和“數學教學”兩條合并成一條“教學活動”，整體上闡述數學教學活動的特征，并就數學教學、學生學習、教師教學進行了進一步闡述。《標準（修改稿）》指出：“教學活動是師生積極參與、交往互動、共同發展的過程。有效的數學教學活動是學生學與教師教的統一，學生是數學學習的主體，教師是數學學習的組織者、引導者與合作者。”
3.“設計思路”變了。
《標準》中設計思路表述得不夠清晰，《標準（修改稿）》對設計思路做了較大的修改，主要體現在課程內容中。
對“數與代數”、“圖形與幾何”、“統計與概率”、“綜合與實踐”四個方面的課程內容做了明確的闡述。將“空間與圖形”改為“圖形與幾何”、“實踐與綜合應用”改為“綜合與實踐”。確立了“數感”、“符號意識”、“運算能力”、“模型思想”、“空間觀念”、“幾何直觀”、“推理能力”、“數據分析觀念”等八個義務教育階段數學教育的關鍵詞。
二、“課程目標”變了
對課程目標進行了完善，在具體表述上變了，更加凸顯了課程改革倡導的使學生經歷數學學習過程、學會數學思考等。
1.將“雙基”改為“四基”。
實驗稿：“雙基”即基礎知識、基本技能。
修改稿：改為“四基”，即基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗。
將“雙基”改為“四基”，對數學教師提出了更高的要求，要求數學教師必須為兒童的學習和個人發展提供最基本的數學基礎、數學準備和發展方向，促進兒童的健康成長，使人人獲得良好的數學素養，不同的人在數學上得到不同的發展。
2.提出了發現和提出問題的能力。
修改稿提出了培養學生發現問題、提出問題、分析問題和解決問題的能力。在實驗稿分析和解決問題能力的基礎上，進一步提出培養學生發現和提出問題的能力。突出了“培養學生創新精神和實踐能力”的改革方向和目標價值取向。
3.完善了一些具體目標的描述。
目標具體從“知識技能”“數學思考”“問題解決”“情感態度”四個方面闡述。
如對于學習習慣，明確指出使學生養成“認真勤奮、獨立思考、合作交流、反思質疑等學習習慣”。
對于分段目標的表述，盡量使用了《標準（修改稿）》規定使用的課程目標的術語。
三、“內容標準”變了
在小學兩個學段中，對“數與代數”、“圖形與幾何”、“統計與概率”和“綜合與實踐”四個方面的內容及要求進行了適當的調整，各領域知識點的數量有增有減，但整體數量上沒有明顯變化。
（一）數與代數
第一學段（1~3年級）
1.增加的內容。
①“在現實情境中理解萬以內數的意義”。
②“知道用算盤可以表示數”。
③“能結合具體情境比較兩個一位小數的大小，能比較兩個同分母分數的大小。”
④“能口算一位數乘除兩位數”。
⑤“能進行簡單的整數四則混合運算（兩步）”。
2.使一些目標的表述更加準確和完整。
①“結合現實素材感受大數的意義”改為“在生活情境中感受大數的意義”。
②“能結合具體情境進行估算，并解釋估算過程”改為“能結合具體情境，選擇適當的單位進行簡單的估算，體會估算在生活中的作用”。
③“能靈活運用不同的方法解決生活中的簡單問題，并能對結果的合理性進行判斷”改為“能運用數及數的運算解決生活的簡單問題，并能對結果的實際意義做出解釋”。
④“發現給定的事物中隱含的簡單規律”改為“探索簡單情境下的變化規律”。
第二學段（4~6年級）
1.增加的內容。
①“經歷與他人交流各自算法的過程，并能表達自己的想法”。
②“了解公倍數和最小公倍數；了解公因數和最大公因數”。
③“在具體情境中，了解常見的數量關系：總價=單價×數量、路程=速度×時間，并能解決簡單的實際問題”。
④“結合簡單的實際情境，了解等量關系，并能用字母表示”。
⑤“結合現實情境感受大數的意義，并能進行估計”。
⑥在了解運算定律后增加“加法的交換律和結合律、乘法的交換律和結合律、乘法分配律”。
⑦“認識中括號”。
⑧“了解自然數”。
2.刪除的內容。
①“會口算百以內一位數乘、除兩位數。”
②“比較百分數的大小。”
③“能借助計算器進行較復雜的運算”中刪去了“較復雜的”。
④“能根據給出的有正比例關系的數據在有坐標系的方格紙上畫圖”中刪去了“有坐標系的”。
3.使一些目標的表述更加準確和完整。
①將“理解等式的性質”改為“了解等式的性質”。
②將“會用等式的性質解簡單的方程（如3x+2＝5，2x-x＝3）”改為“能解簡單的方程（如3x+2＝5，2x-x＝3）”。
③將“會用方程表示簡單情境中的等量關系”改為“能用方程表示簡單情境中的等量關系，了解方程的作用”。
（二）圖形與幾何
第一學段（1~3年級）
1.刪除的內容。
①“能在方格紙上畫出一個簡單圖形沿水平方向、豎直方向平移后的圖形”。（將相關要求放在第二學段）
②“能在方格紙上畫出簡單圖形的軸對稱圖形”。（將相關要求放在第二學段）
③“會看簡單的路線圖”。（將相關要求放在第二學段）
④“體會并認識千米、公頃”。（將相關要求放在第二學段）
2.降低要求。
對于“東北、西北、東南、西南”四個方向，不要求給定一個方向辨認其余方向，降低要求為“知道這些方向”。
3.使一些目標的表述更加準確和完整。
①將“通過實物和模型辨認長方體、正方體、圓柱和球等立體圖形”中的“立體圖形”改為“幾何體”。
②“辨認從正面、側面、上面觀察到的簡單物體的形狀”改為“能根據具體事物、照片或直觀圖辨認從不同角度觀察到的簡單物體的形狀”。
③將“通過觀察、操作，能用自己的語言描述長方形、正方形的特征”改為“通過觀察、操作，初步認識長方形、正方形的特征”。
④將“體會千米、米、厘米的含義”改為“體會并認識長度單位千米、米、厘米”。
⑤將“指出并能測量具體圖形的周長”改為“結合實例認識周長，并能測量簡單圖形的周長”。
⑥將“能估計給定的長方形、正方形的面積”改為“能估計給定簡單圖形的面積”。
⑦將“結合實例，感知對稱現象”改為“結合實例，感知軸對稱現象”。
第二學段（4~6年級）
1.增加的內容。
①“會繪制并描述簡單的路線圖”。
②“能在方格紙上用數對來表示位置，知道數對（限于整數）與方格紙上點的對應。在具體情境中，體驗利用方格紙確定數對位置的過程”。
③“知道扇形”。
④“認識面積單位：千米2、公頃”。
⑤“能在方格紙上補全一個圖形的軸對稱圖形”。
2.刪除的內容。
①“了解兩點確定一條直線和兩條相交直線確定一個點。”
②“體會圖形的相似”。
3.使一些目標的表述更加準確和完整。
①將“能區分直線、線段和射線”改為“結合實例了解線段、射線和直線”。
②將“能辨認從不同方位看到的物體的形狀和相對位置”改為“能辨認從不同方向（前面、側面、上面）看到的物體的形狀圖”。
③將“探索并掌握圓的周長公式”改為“通過操作，了解圓的周長與直徑的比為定值，掌握圓的周長公式”。
④將“用折紙等方法確定軸對稱圖形的對稱軸，能在方格紙上畫出一個圖形的軸對稱圖形”改為“進一步認識軸對稱圖形及其對稱軸，能在方格紙上畫出軸對稱圖形的對稱軸；能在方格紙上補全一個簡單的軸對稱圖形”。
⑤將“通過觀察實例，認識圖形的平移與旋轉，能在方格紙上將簡單圖形平移或旋轉90”改為“通過觀察實例，在方格紙上認識圖形的平移與旋轉，能在方格紙上按水平或垂直方向將簡單圖形平移，能在方格紙上將簡單圖形旋轉90”。
⑥將“欣賞生活中的圖案，靈活運用平移、對稱和旋轉在方格紙上設計圖案”改為“能從平移、旋轉和軸對稱的角度欣賞生活中的圖案，運用它們在方格紙上設計簡單的圖案”。
⑦將“能根據方向和距離確定物體的位置”改為“能根據物體相對于參照點的方向和距離確定其它位置”。
⑧將“在具體情境中，能用數對來表示位置，并能在方格紙上用數對確定位置”改為“能在方格紙上用數對表示位置，知道數對（限于正整數）與方格紙上點的對應；在具體情境中，體驗利用方格紙確定數對的位置的過程”。
（三）統計與概率
1.內容結構變化。
《標準（修改稿）》對統計與概率內容結構做了較大調整，使每個學段內容學習的層次性方面更加明確。強調培養數據分析觀念，與學生的現實生活聯系得更加緊密。
2.具體內容變化。
第一學段（1~3年級）
（1）刪除的內容。
①“通過實例，認識統計表和象形統計圖、條形統計圖（1格代表1個單位），并完成相應的圖表。”
②“通過豐富的實例，了解平均數的意義，會求簡單數據的平均數（結果為整數）。”（相關要求放在了第二學段）
③“知道可以從報紙、雜志、電視等媒體中獲取數據信息。”
④不確定現象的所有具體目標。（相關要求放在了第二學段）
（2）使一些目標的表述更加準確和完整。
①能根據給定的標準或者自己選定的標準，對事物或數據進行分類，感受分類與分類標準的關系。
②經歷簡單的數據收集和整理過程，了解調查、測量等收集數據的簡單方法，并運用自己的方式（文字、圖畫、表格等）呈現整理數據的結果。
③通過對數據的簡單分析，體會運用數據進行表達與交流的作用，感受數據蘊涵的信息。
第二學段（4~6年級）
（1）增加的內容。
①“能選擇適當的方法（如調查、試驗、測量）收集數據。”
②“能體會平均數的意義，能計算平均數，能用自己的語言解釋其實際意義。”
（2）降低的要求。
“可能性”部分只要求學生體會隨機現象，并能對隨機現象發生的可能性大小做定性描述，定量描述放入第三學段。
（3）刪除的內容。
①與中位數、眾數有關的內容。（相關要求放在了第三學段）
②“能設計統計活動，檢驗某些預測。”
③“初步體會數據可能產生的誤導”。
④可能性部分，“能設計一個方案，符合指定的要求”。
統計內容主要變化：加強體會數據的隨機性。原來學生主要是依靠概率來體會隨機思想的，現在希望通過數據分析使學生體會隨機思想。
第一學段與《標準》相比，最大的變化是鼓勵學生運用自己的方式（包括文字、圖畫、表格等）呈現整理數據的結果，不要求學生學習“正規”的統計圖（一格代表一個單位的條形統計圖）以及平均數（這些內容放在了第二學段）。
第二學段與《標準》相比，在統計量方面，只要求學生體會平均數的意義，不要求學生學習中位數、眾數（這些內容放在了第三學段）。
概率內容主要變化：
第一學段、第二學段的要求降低。在第一學段，去掉了《標準》對此內容的要求。第二學段，只要求學生體會隨機現象，并能對隨機現象發生的可能性大小做定性描述。明確指出所涉及的隨機現象都基于簡單隨機事件：所有可能發生的結果是有限的、每個結果發生的可能性是相同的。
（四）綜合與實踐
根據課程改革實驗積累的經驗和進一步的研究，這部分內容做了較大修改。
1.明確了“綜合與實踐”的內涵和要求。
《標準（修改稿）》指出：“綜合與實踐”是一類以問題為載體、以學生自主參與為主的學習活動。“綜合與實踐”的教學目標是幫助學生積累數學活動經驗，培養學生應用意識和創新意識。教學中應強調問題情境與學生所學的知識和生活經驗相結合，鼓勵學生獨立思考、合作交流，自主設計解決問題的思路。經歷發現和提出問題、分析和解決問題的全過程，感悟數學與生活實際、數學與其他學科、數學各部分內容之間的聯系，加深對所學數學內容的理解。
“綜合與實踐”的教學活動應當保證每學期至少一次，可以在課堂上完成，也可以課內外相結合。
新修訂的《小學數學課程標準》提出：義務教育階段的數學課程要面向全體學生，適應學生個性發展的需要。課程內容的選擇要貼近學生的實際，有利于學生體驗、思考與探索。有效的數學教學活動是學生學與教師教的統一，學生是數學學習的主體，教師是數學學習的組織者、引導者與合作者。數學教學活動應激發學生興趣，調動學生積極性，引發學生的數學思考，鼓勵學生的創造性思維；要注重培養學生良好的數學學習習慣，掌握有效的數學學習方法。學生學習應當是一個生動活潑的、主動的和富有個性的過程。教師教學應該以學生的認知發展水平和已有的經驗為基礎，面向全體學生，注重啟發式和因材施教。教師要發揮主導作用，處理好講授與學生自主學習的關系，通過有效的措施，引導學生獨立思考、主動探索、合作交流，使學生理解和掌握基本的數學知識與技能、數學思想和方法，得到必要的數學思維訓練，獲得基本的數學活動經驗。
作為教師，理所應該認真學習新修訂的《課程標準》內容，領悟《課程標準》精髓，并能清楚知道《課程標準》修訂前后的明顯變化，然后用《標準》要求來指導和規范自己的教學，從而促使自己的教學更富有實效。而作為一名一線教學的數學教師，我細心研讀了新修訂的《小學數學課程標準》，學習后感觸最深的是新修訂的《小學數學課程標準》在具體內容和表述方式進行了必要的修改，總體說難度降低的成分較多，更利于教師的教學。
2007年9月，我從教以來第一次教學一年級，且是改編后的新教材。而今，這個一年級已經結束小學課程的學習。六年來的教學中，我不斷轉變教學觀念，不斷改進自身的教學方法，不斷提高自己的教學技能，接受新課程理念的洗禮，但教學中仍然有許多的疑難困惑，仍然遇到許多的教學難題，在與同仁的不斷探討學習中仍有一些教學難點無法突破。而今，《小學數學課程標準》的修訂使我教學中的一些疑難困惑迎刃而解，以下是個人的粗淺看法。
1 "圖形與幾何"部分是學生學習的難點。
六年教學中，我教學最吃力的內容是二年級四冊的"平移和旋轉"。在教學中，學生能結合自己的生活經驗，理解生活中的各種平移和旋轉現象，并做出準確的判斷。但在方格紙上畫出簡單圖形沿水平方向、垂直方向平移后的圖形，對于很多孩子來說，還是很難。（數學二年級下冊練習十）即使作為教師，我手把手的、一個一個地對孩子輔導，花費了大量的課余時間，但仍然有少部分孩子在實際個人獨立作業中存在很大的問題，真正讓我感覺到了什么是教學上的舉步維艱。
其次，畫對稱軸也是學生的一大難點。作為二年級上冊的學生，他們通過折一折的活動，能理解長方形有兩條對稱軸、圓有無數條對稱軸，也能找出正方形有四條對稱軸……對他們來說，難在如何準確地在這些平面圖形上把對稱軸畫出來。（數學二年級上冊練習十五第2題）二年級上冊的學生還未學法中的平均分，要找到長方形、正方形這些平面圖形邊長的中點（圖形的邊長通常情況下都不是整厘米數）實在是太難，更何況圓的圓心在沒有標出的情況下，學生如何能將圓的對稱軸準確畫出？現在好了，《小學數學課程標準》將實驗稿中第一學段將"能在方格紙上畫出簡單圖形沿水平方向、垂直方向平移后的圖形"內容的教學放在了第二學段，將"能在方格紙上畫出簡單圖形的軸對稱圖形"也放在了第二學段，使我過往的教學難點都煙消云散。當有機會再次教學這些內容時，我相信自己將更能把握住教材要求，讓學生把這些所學的知識掌握的更好，更能運用到生活中去。
2 "統計與概率"部分。
新課程的一個最大的特點是統計知識貫穿整個小學六年的數學課程，從一年級一冊開始，便向學生滲透統計思想；從二冊開始，學生開始接觸簡單的條形統計圖，一直到六年級學習扇形統計圖。其中新增添的許多知識是我們當老師的在學生時代都沒有接觸過的內容，比如說中位數、眾數。在教學眾數這部分內容之前，我認真鉆研教材，學習教師用書，結合內江市教科所的培訓資料，認真學習眾數這部分知識。眾數這個概念容易理解，學生也能在一組數據中很快找出其中的眾數，關鍵是在統計這部分知識中我們已經學習了平均數、中位數、眾數三個統計量。出示一組數據，算出平均數、中位數、眾數三個統計量，思考用哪個統計量能代表這組數據的一般水平，為什么，這才是教學難點。案例：五年級下冊 練十四2.1 第5題。某公司全體員工工資情況如下表。
（1） 這組數據的平均數、中位數和眾數各是多少？
（2） 你認為哪個數據代表這個公司員工工資的一般水平比較合適？
像此類題目，學生容易找出這組數據的平均數、中位數和眾數，也能理解在這里應該用眾數2000代表這個公司員工工資的一般水平比較合適，因為普通職員占整個公司人數的80%，適合小學階段學生的理解能力。
2.2 第2題。一個射擊隊要從兩名運動員中選拔一名參加比賽。在選拔賽上兩人各打了10發子彈，成績如下：
甲：9.5 10 9.3 9.5 9.6 9.5 9.4 9.5 9.2 9.5
乙：10 9 10 8.3 9.8 9.5 10 9.8 8.7 9.9
（1） 甲、乙成績的平均數、眾數分別是多少？
（2） 你認為誰去參加比賽更合適？為什么？
在教學中，學生很快就完成了習題第一小問，答案是：甲成績的平均數是9.5環，眾數是9.5；乙成績的平均數是9.5環，眾數是10。但在習題第二小問上，學生的意見就不一致了：大部分同學認為應該讓甲去參加比賽，理由是甲、乙成績的平均數都是9.5環，但甲發揮更穩定，成績中沒有低于9環的，說明甲的心理素質更好，參加比賽更合適；另一部分同學則認為應該讓乙去參加比賽，理由是甲、乙成績的平均數都是9.5環，總成績相等，但乙成績的眾數是10，說明乙的射擊水平更高，雖有一些小小的失誤，但總體成績不比甲差。兩種觀點，不能說不對；兩個運動員，派誰參加比賽，運動員都有各自的優勢。而比賽本身就存在各種影響因素，到底該讓誰參加比賽，作為教師，我也很困惑……教材培訓曾對此部分內容做過專門培訓：當一組數據中平均數、眾數相等時，用眾數代表這組數據的一般水平，那么能代表甲射擊水平的應該是眾數9.5；當一組數據中平均數、眾數不同，但相差不大時則選擇眾數，相差大時則選擇平均數，乙成績的平均數與眾數相差0.5，這算相差大還是小呢？到底哪個數據才能代表乙的射擊水平呢，我很困惑……
現在好了，《小學數學課程標準》第二學段與《實驗稿》相比，在統計量方面，只要求學生體會平均數的意義，不要求學生學習中位數、眾數（這些內容放在了第三學段）。這樣的變化就解決了我們一線數學教師教學的疑難困惑。我想，課程標準這樣要求，原因一是平均數是一個非常重要的刻畫數據平均水平的統計量，需要學生重點體會，而學生從理解上更容易；二是考慮到學生的特征，其他刻畫數據平均水平的統計量不宜集中學習，以免學生在知識的理解上發生混淆。
3 《小學數學課程標準》提出：課程內容的選擇要貼近學生的實際，有利于學生體驗、思考與探索。
但在實際教學中，我發現在第一學段的教學內容越是接近學生生活實際，學生越是學的吃力，例如一年級下冊的認識時間、認識人民幣，三年級的認識時、分、秒，學習24時計時法，學習年、月、日。 《小學數學課程標準》對這些有關量的知識，提出了以下要求： （1） 在現實情境中，認識元、角、分，并了解它們之間的關系。 （2） 能認識鐘表，了解24時記時法；結合自己的生活經驗，體驗時間的長短。 （3） 認識年、月、日，了解它們之間的關系。 （4） 結合生活實際，解決與常見的量有關的簡單問題。教學難點就在于要求的第四點：結合生活實際，解決與常見的量有關的簡單問題。
3.1 教學"認識人民幣"時，學生認識了元、角、分，并了解它們之間的關系，但在解決問題時，問題頗多。
如：在教材第二冊第54頁第6題、第55頁的第11題，這些題目看似簡單，但解決問題的過程中，要運用100以內的加減法的計算，而100以內的加法和減法，是下個單元的內容。再加上一年級的孩子識字量不大，做題跟生活中真正用錢買東西時付錢、找錢有區別，真是生活有用教學難呀！
3.2 一年級下冊"認識時間"。
此單元要求學生在認識半時、整時的基礎上，認識幾時幾分。由于學生還沒有學習5的乘法口訣，所以要求學生根據時鐘分針的指向準確說出幾分成了這部分內容的教學難點。
3.3 三年級的認識時、分、秒，學習24時計時法，學習年、月、日，這些知識與學生生活緊密相連，學生學習起來是知道但卻不會用，運用非常吃力。
胡家鎮中心學校 陳恩學
隨著基礎教育課程改革不斷深入,越來越多的人關注新課程,并且深入了解新課程,參與新課程的改革與實踐。數學課程標準作為本次基礎教育課程的重要組成部分，同樣受到普遍的關注。教學課程標準的出了一系列適應時展的理念，在目標體系、內容結構、教學方式與評價方法等方面都有很大的變化。對這些變化如何理解與認識，并且如何將新的理念與目標付諸實踐，是關系到課程改革能否成功的重要一環。標準的公布只是課程改革的第一步，正確地理解課程標準的理解與方法，創造性地將新的理解與方法體現在教學過程中，是新課程是否具有生命力的關鍵所在。從這個意義上說，我作為一位課改一線教師在課程標準、實踐過程中，有了自己的一點認識和看法。
1、更加注重學生的學習情感。《大綱》注重知識傳授，看重的是“基礎與基本技能”和“數學知識的抽象性、嚴密性、邏輯性，”而新課程標準中強調的是“數學思考、解決問題、情感與態度的發展離不開知識與技能的學習，同時，知識與技能的學習必須以有利于其他目標的實現為前提。”可見，新課程標準強調形成積極主動的學習態度，使獲得基礎知識與基本技能的過程成為學會學習和形成正確價值觀的過程。讓學生把數學學習作為一種樂趣、一種享受、一種數學奇境的探索和渴望。
2、更加密切聯系實際。所謂“學以致用”，數學來源于生活，必然應當服務于生活。過于注重書本知識會使數學脫離生活，變得枯燥乏味，從而影響到學生的學習熱情。新課程標準中對這一方面也做了強調，例如：倡導引進大量的現代信息技術，讓學生學習符合時代特點的數學，大力開發并向學生提供更為豐富的學習資源，把現代信息技術作為學生學習數學和解決問題的強有力工具，如：計算器、計算機的引入。從一年級的教學目標來看，新課程標準增加了估算能力的訓練，比如出示一些草莓，讓學生猜大約有多少？再實際數一數，這樣的估算練習讓學生體驗了數學是可以用到生活中的知識，從而激發學生的學習興趣，同時積累經驗，形成終身學習必備的基礎知識和技能。
3、倡導讓學生體驗知識的形成過程。《大綱》更多是要求學生通過老師的講解獲取知識，掌握技能，學生大多通過死記硬背等機械的方法進行學習。新課程標準倡導學生主動參與，樂于探究，勤于動手，經歷將一些實際問題抽象為數與代數問題的過程；經歷提出問題、收集和處理數據、作出決策和預測的過程。在經歷、體驗中培養學生搜集和處理信息的能力、獲取新知識的能力、分析和解決問題的能力，以及交流合作的能力。
4、評價的革新。《大綱》中只涉及基礎知識和基本技能的考查與評定，與之比較，新課程標準的評價要求就更能全面地反映學生的發展情況。新的評價體系既關注學生對知識與技能的理解和掌握，更關注他們在學習過程中的變化和發展。這樣的評價真正發揮了評價對學生發展的促進作用。
總之，新課程標準中的革新，真正體現了學生本位，使人人都學有價值的數學，人人都能獲得必需的數學，不同的人在數學上得到不同的發展。
對小學數學第一冊教材的認識
㈠初步認識教材
1、新教材注重問題的探索性，題材豐富多彩，信息呈現多樣并且有可選擇性，解決問題的策略多樣化，答案不唯一等。所有的這一些都是為了培養學生自主地進行探索性學習，發展他們的創新意識和實踐能力。
2、教材內容的呈現注意體現兒童的已有經驗和興趣特點，提供豐富的與兒童生活背景有關的素材。例題、習題的形式多樣，所選素材盡量符合實際。圖文并茂，版式多樣，風格活潑，色彩明麗，能吸引學生閱讀，激發學生學習興趣。
3、教材與以往一開始就學習數字的老教材不同，在教材的一開始講授“數一數”“比一比”、“分一分”、“認位置”這樣的內容，這種編排更注重從實際出發，具有較強的實效性。在教學中，教師可以引導學生進行自主的學習活動，在積極思考與合作交流中獲得知識，培養能力，積累學習方法。
4、新教材改變了過去強調接受學習、死記硬背、機械訓練的現狀，倡導學生主動參與，樂于探討，積極動手，培養學生收集和獲取新知的能力和交流合作的能力。
5、計單元的出現，充分體現了課程改革的新理念。通過教師的引導，可以提高學生的觀察力和解決實際問題的能力，從而使數學學習與生活實際相聯系，增強數學學習的趣味性。
㈡就“給學生一碗水，教師自己要有一桶水”的討論
觀點一：放手讓學生自己“找水”。在教學中善于引導學生發現問題，探索問題，在學生遇到問題時，教師可以加以適當引導，在教學中，教師要進行角愛莫能助轉換，讓學生在教學中發揮自己的創新能力。
觀點二：教學中教師要注重培養學生的自學能力。讓學生能學會主動學習，為學會其它知識打下好的基礎。其實，我們教育的最終目的是讓學生掌握學習的方法，也就是說學生要學會自己找水喝，這就要求教師首先要轉變觀念，找出合適的教學方法。
觀點三、要給學生一碗水，教師必須成為一條流動的小河。如今的襯會，信息高速發展，外界事物對學生的誘惑力太大，教師單憑一本書是無法滿足學生的求知欲的，必須首先給自己充電，豐富知識，提高內涵，讓自己的知識猶如一條流動的小河，而并非一潭死水，只有這樣，才能滿足學生的需要。從另一個角度來看，學生接觸面廣了，獲取知識的途徑也多了，有時候，老師也有解決不了的問題，那么遇到這種情況，我們認為教師就應該教給學生自主地進行探究性學習，發現問題，解決問題，教師可以和學生一起學習。
觀點四：教師知識不能單一，要有綜合性知識。如果單純要求教師學歷，勢必影響知識多樣性。如果一味向學生硬灌，學生的思維得不到發展，從單一的知識中學不到其它知識，不會融會貫通。教師的一碗水應該是多滋多味的，流之不盡，用之不完，這樣才能調動學生積極性。社會各方面也應配合校和教師身上。另外，上級部門也應該多提供給教師開闊視野的機會，閉門造車是教不出合格人才的。
觀點五：教學中應加強教師與學生之間，學生與學生之間的交流和互動。教師應深入到學生中間，成為孩子們的朋友，學生之間的互相學習將成為學生學習的主要方式。這樣將減少學生的心理壓力，同時培養學生的自學能力，做到葉圣陶先生說的：“教學，教學，就是教給學生學，主要不是把現成的知識教給學生，而是把學習的方法教給學生，學生可以受用一輩了。”
觀點六：在教學中，教師應跳出固定的框框架架，努力尋找與學生在學習過程中的切入點。教師應更加關 注學生終身的發展，關注不同學生的需求，允許學生自主地學習和選擇不同的學習內容，同時尊重每一學生，公平地對待每一個學生。
㈢建立正確的評價體系”討論
觀點一：教師對學生的評價是為了促進學生身心的發展和成長，應在尊重學生人格，保護其自尊心的基礎上進行。要善于探究心理根源，多表揚鼓勵，因勢力導，要讓學生愿意接受你的評價。通過教師的引導，讓學生認識到錯誤，而不是直接批評。讓學生知其然，知其所以然。
觀點二：在處理問題上要冷靜，找出問題的結癥所在。教師必須了解學生，抓住學生特點。正象陶行知先生所說：發現學生優點，然后引導，使學生自己認識缺點。我們用此方法時，必須弄清學生的特點，以免巧成拙，讓學生感覺老師縱容自己的缺點。
觀點三：對學生的評價要全面，避免片面評價。要以點帶面，牽動學生更大的進步。無論對于什么樣的學習，不能只看一面。如學習差的，應看到他可能紀律好，讓他也有受表揚的的機會，把學生的優點擺在他們面前。建立自信，學生會進步的更快。我們經拋棄陳舊觀念，建立完整合理的評價體系。不僅要注重學業，而且要發現、發展學生多方面的潛能，促進學生全面發展。
觀點四：教師、家長學校共同參與，統一標準。教師在其要多方獲得信息，做好協調工作。教師也要注意對自己的評價多進行反思。不同的學生要有不同的標準，評價學生的教育觀念應改革。
觀點五：評價要注重多點式：評價不僅要關注學生的成績，而且要發現和發展學生多方面的潛能，了解學生發展中的要求。要幫助學生認識自我，建立自信，促進學生在原有水平上的發展。要充分發揮評價的教育功能。
㈣目前存在的主要困惑
a)個別課時容量過大，學生吸收、消化是否有困難，能否全面掌握理解；
b)新教材的教學活動與學生的實踐活動，在目前大班額與小班額兩種現象并存的情況下，如何操作大班額的小組活動；
c)學生的基礎知識，能力通過什么形評價？學生在學習時允許有差異，對這一部分學生如何評價；
一、內容結構
《標準》通盤設計義務教育階段的數學課程，將九年劃分三個學段；1 ～ 3 年級、4 ～ 6 年級、7 ～ 9 年級，明確了學生在相應學段應該達到的數學學習目標，而對內容呈現的順序不作限定，為教材的多樣化和教師創造性地教學留下了較大的空間。《標準》將“統計與概率”、“實踐與綜合應用”作為與“數與代數”、“空間與圖形”并列的兩大學習領域，分學段提出了具體目標，有利于學生對數學形成更為全面的認識。
二、課程內容
1. 加強的內容
注重使學生經歷從實際背景中抽象出數學模型、探索數量關系和變化規律的過程，重視發展學生的數感符號感；重視口算，加強估算，提倡算法多樣化，強調用計算器來進行復雜的運算并探索規律；重視引導學生運用所學知識和技能解決實際問題。從第一學段起，逐步豐富學生對現實空間的認識，注重引導學生從多種角度認識圖形的形狀、大小、變換和位置關系，發展學生的空間觀念；重視通過觀察、操作、推理、交流等活動，發展學生有條理的思考；注重引導學生體會證明的必要性、理解證明的基本過程，掌握演繹推理的基本格式，初步感受公理化思想。
三個學段都安排了統計與概率的內容，強調使學生經歷統計的全過程，認識統計的作用；重視引導學生根據數據作出推斷和預測，并進行交流；注重學生對可能性的感受和認識。
加強實踐與綜合應用。《標準》在第一學段設立了“實踐活動”、第二學段設立了“綜合應用”、第三學段設立了“課題學習”，便于教師結合不同學段學生的生活經驗和知識背景，引導學生以自主探索與合作交流的方式，理解數學，發展解決問題的策略，體會數學與現實生活的聯系。
重視新技術的應用。《標準》在第二學段要求所有學生應學會使用計算器處理復雜數據，并利用計算器探索規律，解決更為廣泛的實際問題。同時，《標準》鼓勵有條件的地區引導學生利用現代教育技術( 包括計算機) 進行學習和探索數學的活動。
2. 削弱的內容
進一步控制計算的難度和速度，第一、二學段控制整數四則混合運算的步驟( 不超過三步)，不要求學習小數與分數的四則混合計算；第三學段有理數的混合運算不超過三步。不獨立設置“應用題”單元，取消對應用題的人為分類。
刪除根式的運算、無理方程、可化為一元二次方程的分式方程和二元二次方程組、三元一次方程組。
“教師為主導”，“學生為主體”，這兩句口號，我們喊了許多年，至今越來越多的教師提出質疑：教師和學生一個是“主導”，一個是“主體”，究竟誰更重要?到底怎么處理“主導”和“主體”的關系?其實。我們長期以來一直誤解了這兩句話。這里的“主導”和“主體”是不同范疇的兩個不同的概念。
1 從教師和學生的關系來看，教師和學生是一個矛盾的統一體。在這對矛盾中，起主導作用的是教師。教師決定著學生學習效果的好壞，決定著課堂教學效率的高低，決定著班級風氣的優劣……從這個意義上講，教師是“主導”。教師必須增強責任意識，加強對自身教學工作的反思，要形成這樣的常規思維模式：當我們的教學效果不夠理想時，在任何情況下，都要在教師自己身上找原因。只有這樣，才能有利于課堂教學效率的提高，有利于我們教師自身素質的發展。
2 從教學的過程來看，學生在這個運動的過程中居于“主體”地位。教師要千方百計地讓學生自始至終成為主角，而不是教師的“自我表現”。從這個意義上講。教師同樣需要形成這樣的常規思維模式：在任何時候，任何情況下，都要在學生身上打主意。課堂教學的各個環節都要盡量地讓學生去思、去做、去發展。
二、處理好基礎知識的教學
這里所講的知識是一個擴大了的概念，它包括三種：一是概念；二是原理，即概念之間的聯系；三是策略，指解決問題的方法。
在課堂教學中要展示知識的全過程。除了要搞清楚知識本身(回答：我是誰?)外，還要揭示知識的形成(回答：我從哪里來?)、知識的應用(回答：我到哪里去?)。
知識教學要力求深入淺出。要做到深入淺出，必須貫徹一個很重要的教學原則：聯系舊知，聯系生活。優秀教師課堂教學的真功夫就在于能用很淺近的方式揭示較深奧的內容。他們往往都能很巧妙在新舊的知識之間。在知識與生活之間架起一座貫通的橋梁。
知識是暫時的、變化的、零碎的，而情感態度、價值觀卻是持久的，影響學生終身的。在課堂教學中，要將知識作為一個載體。教師在引導學生求知的過程中。須有意識地培養學生學習的興趣，激發學生自主探索的欲望。增強學生的自信心，形成正確的價值觀，真正將“教學”的過程變為“育人”的過程，教書的目的在于育人。
三、加強課堂教學的綜合性
加強課堂教學的綜合性的過程，就是提高課堂教學效率的過程。加強課堂教學綜合性的渠道主要有兩條：
一是加強學科內教學內容的融合。教師要深入鉆研教材，把握教材的前后聯系，做好歸類、合并工作，增大課堂教學的容量。
二是加強學科間教學內容的整合。教師要有意識地將不同學科的教學內容“整合”到課堂教學中去。促進學生融會貫通，有利于培養學生開闊的視野和多維的思維方式。
四、有效地向課外擴展
課堂的時間和空間是有限的，而課外學習的空間是無限的，時間是終身的。我們要樹立“大教育”的觀念。將課堂學習作為一個示例，積極地向課外擴展。真正做到讓學生“功”形成于課外。課堂教學如何向課外擴展?我認為可從以下幾方面加以考慮：
1 維護良好的學習興趣。“興趣是最好的老師”，教師要想方設法把學生在課堂上培養起的學習興趣延續到課外去。并不斷地用“任務驅動”的方式，使這種興趣得以鞏固和升華。如果學生在課余時間仍很迷戀這門學科的學習，那么教師的教學一定是成功的。
2 訓練堅定的毅力。學習的過程并不全是輕松愉快的。學習中有困難。也有挫折。要有意識地訓練學生的堅定的意志。讓學生在克服困難的過程中體驗成功的快樂。
3 開展研究性學習。研究性學習的顯著特點是自主性、綜合性、開放性。課外學習的廣闊空間。靈活的時間更有利于研究性學習的開展。教師引導學生自主選題。自主展開學習過程，自主總結學習成果。這是自主探究性學習方式的具體實踐，有利于培養學生的創新精神、實踐能力、有利于提高學生的綜合素養。
關鍵詞：新課標；數學；學習動機；課程目標；實施建議
中圖分類號：G642 文獻標志碼：A 文章編號：1002-2589（2013）21-0255-02
學習動機是激發個體進行學習活動、維持已引起的學習活動，并致使個體的學習活動朝向一定的學習目標的一種內部啟動機制[1]。由弗羅姆的期望價值公式：激勵水平高低=期望值×效價（M=E×V），我們可以通過提高學生主觀感知學習成功的可能性和學習的價值來提高學生學習的動機。動機心理學家依據行為的原因出自活動任務本身或是活動任務之外的報償把動機劃分為內部動機（intrinsicmotivation）和外部動機（extrinsicmotivation）兩類，而且內部動機對個體活動的激勵作用是長期、持續的，而外部動機的作用往往是臨時和短暫的[2]。所以，我們希望將學生的外部學習動機轉化成內部學習動機；內部動機的種類有三種：對于活動本身的興趣、完成活動的樂趣和任務對人能力的挑戰。要提高學生的學習動機，必須要幫助學生建立需要，形成動機，然后利用情感，強化動機[3]，具體可從這幾個方面著手：1）突出所學知識的實用性和價值性；2）提高學生的學習興趣、好奇心和求知欲；3）提高學生學習的自主性，給予學生一定的時間和空間思考，充分尊重學生；4）重視學習過程，關注學生情感態度的發展，讓學生體會到學習的樂趣；5）適當提供有挑戰性的任務，讓學生樂于思考、勇于質疑。本文基于學習動機理論，從前言、課程目標和實施建議三部分對《義務教育數學課程標準（2011年版）》（以下簡稱：《新課標》）進行解讀。
一、對前言的解讀
（一）在課程性質中
數學課程應讓學生真正熱愛數學并樹立學習數學的自信心，必須彰顯數學的文化價值[4]。數學是人類文化的重要組成部分，數學素養是現代社會每一個公民應該具備的基本素養[5]1。這表明要通過數學教育讓每位學生都具備數學素養，而這前提是學生不討厭數學不覺得數學是他們學習的束縛，將他們的外部動機轉化成內部動機是最好不過的做法。所以，有必要在課程性質中強調數學課程要促進學生在情感、態度與價值觀等方面的發展。通過關注學生學習的情感態度變化，教師應及時進行教學的適當調整。
（二）在課程基本理念中
課程內容的選擇要貼近學生的實際，有利于學生體驗與理解、思考與探索。課程內容的組織要重視過程，處理好過程與結果的關系[5]2。研究表明，當個體不必擔心失敗，當他們意識到自己所學的東西是很有意義的，或當他們在學習的過程中得到教師的支持和尊重時，自然會以很高的熱情投入學習[6]16。而《新課標》正強調了數學探究的過程，讓學生在不必過于擔心成敗的輕松氛圍中學習，提高自我感覺成功的可能性，間接地提高學生的內部動機。《新課標》還要求內容要貼近學生生活，這有利于學生去體驗和理解數學，領悟數學的價值，進而讓學生主動地去思考與探索數學，將學習數學當作是自己生活的一部分。
認真聽講、積極思考、動手實踐、自主探索與合作交流同樣是學習數學的重要方式。學生應當有足夠的時間和空間經歷觀察、實驗、猜測、計算、推理、驗證等活動過程[5]2-3。詹姆斯?康奈爾、查理德?瑞安等人的研究表明，當教師給予學生更多自己做決定或自主地控制學習進程的機會時，學生的學習動機就會大大提高[6]16-17。《新課標》強調學生的主體地位，要求教師給予學生足夠的時間和空間思考，有利于提高學生學習的自主性，從而提高學習動機。資料表明，合作性的學習活動有助于激發學生潛在的動機，因為它們直接滿足學生的關聯需要；同時它們也能促進學習，因為它們讓學生進行知識的社會建構[7]。《新課標》突出合作學習在學習過程中的重要性，希望在學習的過程中滿足學生的關聯需要，也以此提高學習動機。
評價既要關注學生學習的結果，也要重視學習的過程；既要關注學生數學學習的水平，也要重視學生在數學活動中所表現出來的情感與態度，幫助學生認識自我、建立信心[5]3。學習評價是學生學習與教師教學的準繩，應體現學生在學習過程中的情感態度。關注學生的情感態度，重視學習的過程有助于提高學生的自我存在感。
（三）在課程設計思路中
數學課程目標包括結果目標和過程目標。結果目標使用“了解、理解、掌握、運用”等術語表述，過程目標使用“經歷、體驗、探索”等術語表述[5]4。在過程目標中使用的是“經歷、體驗、探索”，這都離不開學生這個主體的，可見《新課標》強調學生的主體地位和學生學習的過程體驗。
“綜合與實”是一類以問題為載體、以學生自主參與為主的學習活動[5]5。這就要求教師創設問題探究的情景，給學生提供挑戰自我的機會，讓學生在學習的過程中提高自我效能感，逐步領略到學習數學的趣味。
二、對課程目標的解讀
（一）在總目標中
《新課標》與《義務教育數學課程標準（實驗稿）》明顯的不同在于從原來的“二基”變成“四基”，即增加了“基本思想”和“基本活動經驗”。這強調了數學思想和學生體驗探索數學過程的重要性，而要想培養學生的數學思維，就要學生產生學習數學的需要，主動去學，形成學習數學的動機。在數學學習過程中，體驗獲得成功的樂趣，鍛煉克服困難的意志，建立自信心[5]9。這也強調學生在學習過程中體驗快樂，建立自信心的重要作用，是養成良好學習習慣的前提。
（二）在學段目標中
在各個學段目標中的情感態度都有與總目標類似的表述，特別是在第二學段中。這就更突出了學生學習的過程、學生學習的自主性以及讓學生在其中體會數學的價值。
三、對實施建議的解讀
（一）在教學建議中
教學活動是師生積極參與、交往互動、共同發展的過程[5]42。所以，教師要尊重學生的學習主體性，引導學生積極思考、合作探究、挖掘潛能，鼓勵學生大膽創新與實踐、挑戰自我，在學習的過程中提高自我效能感，從而提高學習動機。“重視學生在學習活動中的主體地位”[5]43、“感悟數學思想，積累數學活動經驗”[5]46。只有在教學中重視學生思考的過程，給予學生積累數學活動經驗的機會，才能提高學生的數學素養。“綜合與實踐”是積累數學活動經驗的重要載體[5]47。這一部分是學生在教師的引導下自主探索數學問題的好機會。如何使他們愿意學，喜歡學，對數學感興趣？如何讓學生體驗成功的喜悅，從而增強自信心？[5]47-48這強調了學生興趣培養的重要性，在學習過程中學生所表現出來的情感態度也是教師不可忽視的。
（二）在評價建議中
注重對學生數學學習過程的評價[5]55。過程性評價更有利于調動學生學習的積極性，促進師生之間及學生之間的交流，激發學生學習數學的熱情[8]64。奧蘇伯爾提出：“成就動機主要有三個方面的內驅力組成，認知內驅力、自我提高內驅力和附屬內驅力。”[1]學生在不同學段會顯現出不同的內驅力，所以，在兒童早期，附屬內驅力突出，隨著年齡的增長，認知內驅力和自我提高內驅力會增強。因此，在第一學段一般以鼓勵性的語言評價為主，而到后兩個學段逐漸應以鼓勵為主，批評指正為輔，這樣往往能取得更好的效果。如果只一味強調鼓勵的一面，有時非但不能正確體現真實情況，反而容易滋生學生驕傲的情緒[8]65。體現評價主體的多元化和評價方式的多樣化[5]56。資料表明，當學生知道自己所取得的成績將會以一種適當的方式來評價時，學生的學習動機將會維持在一個很高的水平上[6]20。不同的評價群體對學生的促進作用是不同的，多方式的評價有利于學生多方面地發展自我，且多樣化的評價方式更利于學生體會評價的合理性，從而讓學生維持較高的學習動機。可見，多元化的評價主體與多樣化的評價方式是有必要的。
因《新課標》在“教材編寫建議”和“課程資源開發與利用”中同樣是符合上述的分析，所以不在此做重復的解讀。
綜上可見，《新課標》多處強調要提高學生的學習興趣和自主性，給予學生足夠的時間和空間思考，重視學習的過程，關注學生情感態度的發展，讓學生體會到學習的樂趣。從教學方式到教學內容，《新課標》都希望學生能自愿學數學、熱愛數學，提高數學素養。當然，《新課標》所強調種種利于提高學生學習動機的理念還依賴于教師在實際教學中的合理運用，只有這樣才能在真正意義上提高學生學習數學的動機。
參考文獻：
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一、課程標準2011年版的主要變化
1. 對數學意義的修訂
課程標準實驗稿認為“數學是人們對客觀規律的定性把握和定量刻畫、逐步抽象概括，形成方法和理論，并進行廣泛應用的過程”，課程標準2011年版對此修訂為“數學是研究數量關系和空間形式的科學”，這種修訂進一步明確了數學不僅僅是一個過程，而是一門科學.
2. 對數學課程的修訂
將原來“人人學有價值的數學，人人獲得必需的數學，不同的人在數學上得到不同的發展”改為“人人都能獲得良好的數學教育，不同的人在數學上得到不同的發展”，進一步闡述了數學課程的本質.
3. 對課程目標的修訂
課程標準實驗稿認為課程目標是“學生獲得適應社會生活和進一步發展所必需的重要數學知識（包括數學事實、數學活動經驗）以及基本的數學思想方法和必要的應用技能”， 課程標準2011年版對此修訂為“學生獲得適應社會生活和進一步發展所必需的數學的基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗”. 此次修訂在雙基的基礎上增加了基本思想和基本活動經驗，是對十年改革經驗的提升，更加凸顯了數學對人的發展的特殊作用.
課程標準實驗稿認為“學生初步學會運用數學的思維去觀察、分析現實社會，去解決日常生活和其他學科學習中的問題，增強應用數學的意識”， 課程標準2011年版對此修訂為“體會數學知識之間、數學與其他學科之間、數學與生活之間的聯系，運用數學的思維方式進行思考，增強發現和提出問題的能力、分析和解決問題的能力”. 這種改變不僅變間接為直接，提出了能力培養目標，而且增加了“發現問題、提出問題”的能力要求，對培養學生的創新精神有了明顯的提高.
4. 對課程內容結構的修訂
課程標準2011年版對“數與代數”，“圖形與幾何”，“統計與概率”，“綜合與實踐”四個方面的課程內容做了明確的闡述，將“空間與圖形”改為“圖形與幾何”、“實踐與綜合應用”改為“綜合與實踐”. “數與代數”部分內容結構沒有變化. “圖形與幾何”第一、二學段內容結構沒有變化，第三學段將原來的四個部分調整為三個部分，第三部分“圖形的性質”基本上是整合了課程標準實驗稿中的第一和第四部分.
“統計與概率”內容結構做了較大調整，使三個學段內容學習的層次更加分明，例如4-6學年段課程標準實驗稿中的基本要求是“通過豐富的實例，理解平均數、中位數、眾數的意義”，而課程標準2011年版只保留了“體會平均數的作用，能計算平均數”，并且將“計算中位數、眾數、加權平均數，了解它們是數據集中趨勢的描述”放在了7-年段中提出. “綜合與實踐”內容作了較大修改，明確了綜合與實踐是一類以問題為載體，以學生自主參與為主的學習活動.
課程標準2011年版根據課程內容，將課程標準實驗稿的6個核心詞進行了進一步梳理，明確提出了10個核心詞，并給出具體描述. 增加了 “幾何直觀”、“運算能力”、 “模型思想”、“創新意識”和“應用意識”，并將“幾何直觀”和“推理能力”作為圖形與幾何領域的核心目標； 對“數感”、“空間觀念”的內涵作了修訂；將“符號感”修訂為“符號意識”，強化其從感性到理性轉化的重要作用與基礎地位.
1 推理的意義
推理是從一個或幾個已知判斷中推出一個新的判斷的思維形式,是人們學習和生活中經常使用的思維方式.例如,下面的三個例子就是數學中常見的推理:
例1 若兩個角是對頂角,則這兩個角相等.所以,如果兩個角不相等,那么這兩個角一定不是對頂角.
例2 因為平行四邊形的對角線互相平分,而正方形是平行四邊形,所以正方形的對角線互相平分.
例3 積的乘方法則的發現過程.
積的乘方法則是在學習了乘方的意義的基礎上安排的,我們可以這樣引導過程:
通過給定問題情境,讓學生計算下面的結果:
在例1中,“若兩個角是對頂角,則這兩個角相等”是已知判斷.根據“逆否命題相互等價”這一原理(已經知道的判斷),得到“如果兩個角不相等,那么這兩個角一定不是對頂角”這一新的判斷.從而使學生加深了對對頂角的性質的認識.
例2由“平行四邊形的對角線互相平分”和“正方形是平行四邊形”這樣兩個已知的判斷,得出新的判斷“正方形的對角線互相平分”,讓學生知道可以利用一般原理推出特殊情況下的知識.
任何一個推理都是由前提和結論兩部分所組成的,都是由一定的前提推出一定的結論的過程.所謂前提,就是推理過程中所依據的已知判斷.已知判斷可以是前提明確給出的,也可以是大家已經知道的判斷,對于這樣的判斷,其前提就不用再明確“點出”來,在具體推理的過程中,我們可隨時“調用”.例如,例1中的“若兩個角是對頂角,則這兩個角相等”就是前提明確給出的已知判斷,而“逆否命題相互等價”就是一個前提沒有給出,但我們可直接引用的已知判斷.例3的前提是“(ab)m”
所謂結論,就是通過推理得到的新判斷.推理的結論告訴我們推出的知識是什么.例如,例1中的結論是“這兩個角不是對頂角”;例2的結論是“正方形的對角線互相平分”;例3的結論是“ambm”.
這三個例子反映了兩種常見的推理:
演繹推理:即從已知的事實(包括定義、公理、定理等)出發,按照規定的法則(包括邏輯和運算)推出特殊結論.演繹推理用于證明結論的正確性.例1和例2屬于演繹推理,演繹推理也叫論證推理,
合情推理:即從已有的事實出發,憑借經驗和直覺,通過歸納和類比等方法推測某些結果.在解決問題的過程中,合情推理有助于探索解決問題的思路,發現結論.例3則屬于合情推理.
我們以往的教學比較強調、重視論證推理,而對合情推理的教學與研究是不夠的.要全面貫徹新課程改革的理念,培養具有創新性的人才,必須大力加強對合情推理的教學與研究.深孚眾望的數學教育家波利亞曾說過:“一個認真想把數學作為他終身事業的學生必須學習論證的推理;這是他的專業也是他那門學科的特殊標志.然而為了取得真正的成就他還必須學習合情推理;這是他創造性工作所賴以進行的那種推理.”
2 推理能力的教學要求
《標準》在總體目標中指出:通過義務教育階段的數學學習,學生“經歷觀察、實驗、猜想、證明等數學活動過程,發展合情推理能力和初步的演繹推理能力,能有條理地、清晰地闡述自己的觀點”.這就是關于推理能力的總體要求,為幫助教師更好的理解推理能力的內涵,在教學中有針對性的培養學生的推理能力,《標準》用描述性的語言指出了推理能力在三個方面的主要表現:
2.1 能通過觀察、實驗、歸納、類比等獲得數學猜想,并進一步尋求證據、給出證明或舉出反例
大家知道,學生通過數學學習獲得一個數學結論的過程是:在教師給定的情景下,經過自己的思考與探索等數學活動,首先發現這個結論,然后再利用數學的方法證明結論的正確性,即經歷“合情推理――演繹推理”的過程.合情推理是從觀察、實驗、類比、聯想、歸納、猜想入手的,其手段是類比或歸納,結果是產生一定的聯想,并作出猜想,其實質便是“發現”,培養學生的合情推理能力對于培養學生的創新精神是非常必要的.正因為如此,《標準》才強調合情推理的重要性.但由于合情推理的條件與結論之間是以聯想或猜想作為橋梁的,所以由合情推理得到的猜想需要證實,這就需要通過演繹推理給出嚴格的證明或舉出反例.通過證明正確的猜想就是我們要學習的數學公式、法則或定理,用反例予以否認的猜想對于學生掌握正面的知識也是非常有益的.
上面的要求包括兩部分:一是得到猜想(結論);二是證明猜想或舉出反例否定猜想.教師們在數學教學中的現實是比較注意發現結論,給出證明,對于舉反例往往重視不夠.
前面的例3就是在計算、觀察的基礎上,得到猜想,并證明猜想的一個典例.它的第(3)步實際上就是代數證明過程.
例4 通過畫圖澄清一個關于判定三角形全等的錯誤認識.
同學們學習了全等三角形的判定方法“角角邊AAS”之后,很容易進行類比、猜想從而得到一個錯誤的方法,即所謂的“邊邊角”方法.為了讓學生從根本上認識到不存在這個“邊邊角”方法的道理,可讓學生進行下面的實驗操作:
如圖1,已知線段a=6cm,b=8cm和∠α=30°,讓同學們在硬紙片上畫ABC,要求AB=8cm,AC=6cm,∠B=30°.畫好后剪下來與其他同學畫的三角形進行比較,你能發現什么樣結論?圖1圖2
同學們通過動手畫圖、剪拼,發現畫出的兩個三角形不能重合,這就是說已知兩邊和其中一邊的對角畫出的三角形不唯一.如圖2,在ABC和ABD中,已知AB=AB,AC=AD,∠B=∠B,但它們顯然是不全等的.這就直觀的告訴我們,有兩邊和其中一邊的對角對應相等的兩個三角形不一定全等.從而否定了“邊邊角”方法的存在.
通過這個實驗,學生既加深了對三角形全等判定方法的理解,又體會到了反例的重要性.正如波利亞指出的那樣“論證推理是可靠的、無可置疑的和終決的.合情推理是冒風險的、有爭議的和暫時的”.
2.2 能清晰、有條理地表達自己的思考過程,做到言之有理、落筆有據
在對學生進行推理訓練時,學生首先是在觀察、操作、實驗、計算的基礎上,進行分析與思考,這個思考過程是至關重要的,要把這種思考的語言轉化為外顯的語言,必須保證思考過程中的每一個判斷都要有理由和根據,使思考過程變得清晰而有條理,才能在用數學語言進行表達(口頭或書面)時做到“言之有理、落筆有據”,不要“想當然”.
例3中的第(3)的推理過程共有三步,每步的根據依次是乘方的意義、乘法運算律和乘方的意義.這樣安排,學生在經歷“符號化”的過程中,一方面發展了符號感,另一方面還增強了邏輯推理能力和歸納能力.
2.3 在與他人交流的過程中,能運用數學語言、合乎邏輯地進行討論與質疑
數學交流主要包括三個方面:第一是數學知識的交流.學生以某種形式,直觀的或非直觀的、口頭的或書面的、運用普通語言的或數學語言傳遞自己的思想和對知識的理解.同時以某種方式(聽、讀、看、摸等)理解和接受來自他人的見解和觀點.第二是數學體驗的交流.這樣的交流并不著眼于某個具體的概念、方法和解決問題的過程的交流,而是關于學習過程中的感受、情緒、認識、想法和念頭的交流,包括分析、評論、欣賞、贊嘆等等,是情感體驗的交流.第三是解決問題心得的交流.指學生在經過整理和思考的基礎上,選擇恰當的描述和表達方式,呈現自己解決問題的思路、方法和結果的過程,也包括反思與評價,是數學思想方法的交流.可以看出無論是哪個方面的交流,其前提都是每個人都能清晰、有條理地表達自己的思考過程.在這里,“用數學語言合乎邏輯”的表達是重要的.只有這樣,才能確保討論者有共同的語言.這一要求顯然比上一要求更進了一層.
3 培養推理能力的基本做法
從上一個問題的討論中,可以看出《標準》對于學生應具有的推理能力提出了明確的要求,那么在具體的教學中,應該如何培養學生的推理能力呢?
3.1 把推理能力的訓練貫穿于教學的全過程中
推理能力的形成與發展是一個緩慢的過程,對它的培養要符合其自身的特點和規律,不能等同于一般知識與技能的訓練.它不是教師“教”出來的,而是學生自己“悟”出來的.這種“悟”只能產生在數學活動中,從數學活動的經驗之中“升華”而至.因此,《標準》指出:“數學教學活動必須建立在學生的認知發展水平和已有的知識經驗基礎之上.教師應激發學生的學習積極性,向學生提供充分從事數學活動的機會,幫助他們在自主探索和合作交流的過程中真正理解和掌握基本的數學知識與技能、數學思想和方法,獲得廣泛的數學活動經驗.”這就要求教師在進行數學教學中,一定不要把知識“裸”的告訴學生,要對教學內容進行深加工,精心設計成能引導學生進行探索活動的素材,為學生提供探索與交流的空間,組織、引導學生“經歷觀察、實驗、猜想、證明等數學活動過程”,把推理能力的培養有機的融合在這樣的過程之中.
例5 “平方差公式”的推導過程.
對“平方差公式”的教學,我們可以設置如下的問題串,以引導學生不斷地進行思考與探索:
(1)計算并觀察下面每組算式
(3)你能舉出一個類似的例子嗎?
(4)從上述過程,你發現了什么規律?你能用語言敘述這個規律嗎?你能用代數式表示這個規律嗎?
(5)你能證明自己所得到的規律嗎?
學生在這些問題的引導下,能從對具體算式的觀察、比較中,通過合情推理(歸納)提出猜想,進而用數學符號表達――若a×a=m,則(a-1)(a+1)=m-1,然后用多項式的乘法法則證明猜想是正確的.其探索過程可分為以下三步:
(1)在對具體算式的觀察、比較中,通過合情推理,得出猜想;
(2)把所得到的猜想用數學符號(語言)表達出來:
如果a×a=m,則(a-1)(a+1)=m-1;
(3)用多項式的乘法法則證明猜想是正確的.
在完成這三步的探索之后,就能得到平方差公式:(a-1)(a+1)=a2-1.
3.2 把推理能力的培養與四個領域的內容有機的結合在一起
《標準》將課程內容分為“數與代數”、“空間與圖形”、“統計與概率”及“實踐與綜合應用”,這四個領域的內容都為學生推理能力的發展提供了豐富的素材,無論哪個領域的教學都要結合具體的教學內容努力創設能引導學生進行思考與探索的問題情境,為他們提供自主探索、合作交流的時間與空間,讓學生在具體的“活動”中經歷知識的發現、發展過程.這樣就能拓寬發展學生推理能力的空間.
(1)在“數與代數”領域結合計算滲透推理
不要片面的認為“數與代數”領域的內容主要是計算,事實上,這個領域的許多內容都包含著分析、判斷和推理的過程.所以,關于這些內容的教學,要設法引導學生經歷觀察、猜想、歸納、發現的過程,例3和例5的導學過程中“判斷和推理”的成分遠比“計算”的成分所占的“權重”要大得多.
(2)在“空間與圖形”領域的教學中,要發揮培養學生推理能力主陣地的作用
在本領域的教學中,一定要克服以往過分重視演繹推理的偏向,做到合情推理與演繹推理結合并用.要讓學生在問題的引導下,經歷操作、觀察、比較、分析、猜想、證明等活動.這樣安排既培養了學生的推理論證能力,還有助于學生空間觀念的形成與發展.
例6 等腰三角形的性質的發現過程.
等腰三角形的性質,是學生通過剪紙、折疊、觀察等活動,在對教材給出的一系列問題進行思考的基礎上概括出來的,所以,教學中要注重實驗操作.因為學生在動手實驗的基礎上,既能從中發現等腰三角形的性質,還能體驗到問題的結論和方法之間的精彩過程,以已有的知識和經驗為基礎進行積極“和諧”的建構過程,從而把新的學習內容正確地納入到已有的認知結構中去.圖3
為了讓學生自主發現、得到等腰三角形的性質,我們可以讓學生通過下面的實驗歸、納得到的:
如圖3,用紙剪一個等腰三角形ABC,將三角形對折,使它的兩腰AB與AC重合,記痕跡與底邊BC的交點為D,把紙展開后鋪平.思考下面的問題:
(1)等腰三角形ABC是軸對稱圖形嗎?
(2)∠BAD與∠CAD相等嗎?為什么?
(3)∠B與∠C相等嗎?為什么?
(4)折痕所在直線AD與底邊BC有什么位置關系?
(5)線段BD與線段CD的長相等嗎?
(6)你能總結一下折痕所在直線AD具有的性質嗎?
學生通過剪紙、折疊、觀察、思考等探究活動,在以上6個問題的引導下,能自主發現并概括出等腰三角形的軸對稱性及“兩個底角相等”、“三線合一”等重要性質.這些性質可通過證明BAD≌∠CAD而得到.
3.3 在“統計與概率”領域的教學中,重視學生經歷統計的全過程
“統計與概率”中的推理是合情推理,是一種可能性的推理,與其它推理不同的是,由統計推理得到的結論無法用邏輯推理的方法去檢驗,只有靠實踐來證實.因此,“統計與概率”的教學要重視學生經歷收集數據、整理數據、分析數據、作出推斷和決策的全過程.
例7 調查某校八年級學生的視力情況.
(1)提出問題
這個案例的目標非常明確(就是調查某校八年級學生的視力情況),范圍也很小(就是在某學校八年級學生中進行調查),方法有兩種,一是普查;二是抽樣調查.如果該校八年級學生不是很多,可以采用普查的方法.如果學生較多,可以采用抽樣的方法,這時應當注意樣本選取的代表性和適當的樣本容量.
為便于記錄和統計,很容易想到要設計下面的記錄表(只給出樣式):
(2)收集數據
假如采用的是抽樣的方式,從該校八年級學生中隨機抽取了50名學生進行視力檢查,顯然能收集到100個數據(具體數據省略),把這些數據填在上面的表中,為方便分析數據,可對這100個數據進行簡單的統計匯總:
右眼情況是:視力是0.1的1人;視力是0.2的1人;視力是0.3的2人;視力是0.4的2人;視力是0.5的2人;視力是0.6的3人;視力是0.7的4人;視力是0.8的5人;視力是1.0的9人;視力是1.2的10人;視力是1.5的11人.
左眼情況是:視力是0.1的1人;視力是0.2的2人;視力是0.3的1人;視力是0.4的5人;視力是0.5的3人;視力是0.6的5人;視力是0.7的2人;視力是0.8的4人;視力是1.0的10人;視力是1.2的7人;視力是1.5的10人.
(3)分析數據
根據調查的內容,無論采用哪種方式,用表格表述數據是最方便的,所以將上述收集匯總后的數據整理如下:
(4)作出判斷
本次調查可得到的判斷很多,如:
①只要是視力低于1.5的就算是近視眼,所以結論是該校八年級學生中視力情況不容樂觀.就右眼來說有39人近視;就左眼來說有40人近視.
②這50名同學右眼視力的平均值為:
③該校八年級學生右眼的視力好于左眼的視力.
④同學們應加強體育鍛煉,注意看書的姿勢,減少看電視及上網的時間.
……
在“統計與概率”領域的教學中,要讓學生經歷一個較為完整的統計活動過程,制定收集數據的指標、收集與表達數據、對數據做數學處理、根據處理結果作出統計推斷.在這樣的過程中,學生的推理能力將會得到逐步的提高.
總之,廣大教師應下力氣研究《標準》的精神,把既教會學生猜想,又能把握證明;既能合情推理,又能嚴格論證作為教學的指導思想.應通過自己在“再創造”的活動中,努力為學生展現出對數學規律的觀察過程、理解過程、想象過程和思考過程;在講解的同時注入自己對數學家在策略創造方面的理解和感受,努力去協調新的教學內容與學生已有的認知結構、教學目的和學生學習動力的關系.通過我們對數學美與教學美的強有力的揭示,激發起學生對于求真求美的強烈愿望.通過培養學生的推理能力達到培養他們的創新精神和實踐能力的目的.
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